अध्याय 1: वर्ग और घन

कक्षा 8 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित प्रकाश) का अध्याय 1, "वर्ग और घन", पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन संख्याओं की परिभाषा, गुणधर्म, प्रतिरूप और अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल एवं घनमूल ज्ञात करने की विधियाँ सिखाता है।

• वर्ग और घन — परिभाषा तथा उनके मूल — किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल को वर्ग संख्या (n²) कहते हैं, और तीन बार गुणा करने पर प्राप्त गुणनफल को घन संख्या (n³)। वर्गमूल (√) और घनमूल (∛) इन्हीं संक्रियाओं के व्युत्क्रम हैं।
• अभाज्य गुणनखंड — पहचान की कसौटी — कोई संख्या पूर्ण वर्ग है यदि उसके अभाज्य गुणनखंडों को दो समान समूहों में बाँटा जा सके, और पूर्ण घन है यदि तीन समान समूहों में। यही विचार वर्गमूल और घनमूल निकालने की आधारशिला है।
• प्रतिरूप जो संरचना उजागर करते हैं — 1 से आरंभ होने वाली क्रमागत विषम संख्याओं का योग पूर्ण वर्ग देता है (जैसे 1+3+5+7+9 = 25 = 5²); इकाई अंक और गुणनखंडों की विषम संख्या भी वर्ग संख्याओं की पहचान कराती हैं।

1. 01पूर्ण वर्ग संख्याएँ — 1, 4, 9, 16, 25 — किसी संख्या को स्वयं से गुणा (n²) करने पर प्राप्त होती हैं
2. 02सभी पूर्ण वर्ग 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होते हैं; कोई वर्ग 2, 3, 7 या 8 पर नहीं समाप्त होता
3. 03जिन संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है, वे ही पूर्ण वर्ग होती हैं (जैसे 1, 4, 9, 16, 25)
4. 04पूर्ण घन संख्याएँ — 1, 8, 27, 64, 125 — किसी संख्या को तीन बार गुणा (n³) करने पर प्राप्त होती हैं
5. 05प्रथम n विषम संख्याओं का योग n² के बराबर होता है (उदाहरण: 1+3+5+7+9 = 25 = 5²)
6. 06कोई संख्या पूर्ण वर्ग है यदि उसके अभाज्य गुणनखंड दो समान समूहों में बँटें; पूर्ण घन है यदि तीन समान समूहों में
7. 07वर्गमूल (√) और घनमूल (∛) व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं; प्रत्येक पूर्ण वर्ग के दो पूर्णांक वर्गमूल (धनात्मक और ऋणात्मक) होते हैं