अध्याय 3: संख्याओं का संसार — समाधान

संख्याओं का संसार के NCERT समाधान (अध्याय 3, NCERT कक्षा 9 गणित) — हर प्रश्न और उत्तर सिर्फ़ अंतिम उत्तर नहीं, बल्कि पूरी तरह चरण-दर-चरण हल किया गया। आप संख्याओं का संसार की पाठ्यपुस्तक का अध्याय भी पढ़ सकते हैं।

• संख्याओं का विकास — संख्याएँ मानवीय आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए विकसित हुईं — एक-एक संगति से गिनती से लेकर शून्य (शून्य) के भारतीय आविष्कार तक, जिसे ब्रह्मगुप्त ने 628 ई. में अंकगणितीय नियमों के रूप में औपचारिक रूप दिया।
• पूर्णांक और परिमेय संख्याएँ — पूर्णांक, गिनती की संख्याओं को शून्य और ऋणात्मक संख्याओं के साथ विस्तारित करते हैं, जिन्हें लाभ और ऋण के रूप में समझाया गया है। परिमेय संख्याएँ, p/q के रूप में लिखी जाती हैं, संख्या रेखा पर सघन रूप से पैक होती हैं — किन्हीं दो के बीच हमेशा एक परिमेय संख्या होती है।
• अपरिमेय संख्याएँ — कुछ राशियाँ जैसे sqrt(2) और pi को p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता। विरोधाभास द्वारा प्रमाण इस अपरिमेयता को स्थापित करता है, जो संख्या रेखा को भिन्नों से आगे विस्तारित करती है।
• दशमलव और वास्तविक संख्याएँ — दशमलव प्रसार परिमेय (सांत या आवर्ती) और अपरिमेय (कभी न दोहराने वाले) संख्याओं को अलग करता है। ये दोनों परिवार मिलकर वास्तविक संख्याओं की एकल प्रणाली बनाते हैं।

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