गणित

कक्षा 9 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 1, "स्वयं को प्रवृत्त करना— निर्देशांकों का उपयोग", द्वि-विमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली से परिचित कराता है — यह दिखाता है कि किसी तल में किसी भी बिंदु को दो लंबवत अक्षों से मापे गए क्रमित युग्म (x, y) द्वारा कैसे व्यक्त किया जाता है, और दो बिंदुओं के बीच दूरी कैसे ज्ञात की जाती है।

• 1द्वि-विमीय प्रणाली में दो लंबवत रेखाएँ होती हैं: क्षैतिज x-अक्ष और ऊर्ध्वाधर y-अक्ष
• 2मूलबिंदु O वह बिंदु है जहाँ अक्ष मिलते हैं; इसके निर्देशांक (0, 0) हैं
• 3अक्ष तल को चार चतुर्थांशों में विभाजित करते हैं जिनके चिह्न-प्रतिरूप (+,+), (-,+), (-,-), (+,-) हैं
• 4x-निर्देशांक y-अक्ष से दूरी है; y-निर्देशांक x-अक्ष से दूरी है
• 5x-अक्ष पर स्थित बिंदु (x, 0) हैं; y-अक्ष पर स्थित बिंदु (0, y) हैं

कक्षा 9 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 2, "रैखिक बहुपदों का परिचय", एक चर वाले बहुपदों और उनकी घात का परिचय देता है, तथा मुख्यतः रैखिक बहुपदों (घात 1) पर केंद्रित है — रैखिक पैटर्न, वृद्धि और ह्रास, y = ax + b के रूप के संबंध, और उन्हें सरल रेखाओं के रूप में आलेखित करना।

• 1बहुपद की घात उसके चर की उच्चतम घात होती है
• 2घात के अनुसार बहुपद: अचर 0, रैखिक 1, द्विघाती 2, घन 3
• 3रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, जैसे 3z + 7 या 2x + 3
• 4चर का मान प्रतिस्थापित करके बहुपद का मान ज्ञात करते हैं
• 5रैखिक पैटर्न में क्रमागत पदों का अंतर नियत होता है

कक्षा 9 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 3, "संख्याओं का संसार", यह बताता है कि संख्या प्रणाली कैसे प्राकृत संख्याओं और शून्य से होती हुई पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं, अपरिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं तक विकसित हुई — इसमें ब्रह्मगुप्त के नियम, दशमलव प्रसार और यह प्रमाण शामिल है कि sqrt(2) अपरिमेय है।

• 1प्राकृत संख्याएँ एक-एक संगति से गिनती द्वारा उत्पन्न हुईं
• 2ब्रह्मगुप्त ने 628 ई. में शून्य और उसके अंकगणितीय नियमों को औपचारिक रूप दिया
• 3पूर्णांक (Z) में धनात्मक संख्याएँ, शून्य और ऋणात्मक संख्याएँ (ऋण) शामिल हैं
• 4परिमेय संख्याएँ p/q के रूप में हैं जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q शून्य के बराबर नहीं है
• 5परिमेय संख्याएँ सघन हैं; किन्हीं दो के औसत द्वारा उनके बीच एक परिमेय संख्या मिलती है

कक्षा 9 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 4, "बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण", (a+b)² = a² + 2ab + b² जैसी सर्वसमिकाओं का परिचय देता है, उन्हें ज्यामितीय मॉडलों और बीजगणित टाइलों से दृश्यमान करता है, और व्यंजकों का विस्तार करने, गुणनखंडन करने, परिमेय व्यंजकों को सरल करने तथा गणनाओं को तीव्र बनाने के लिए उनका उपयोग करता है।

• 1सर्वसमिका (a+b)² = a² + 2ab + b² और (a-b)² = a² - 2ab + b²
• 2सर्वसमिका सभी मानों के लिए सत्य है; समीकरण के लिए यह आवश्यक नहीं
• 3तीन-पद वर्ग: (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
• 4वर्गों का अंतर: a² - b² = (a+b)(a-b)
• 5घन सर्वसमिकाएँ (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ और (a-b)³

कक्षा 9 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 5, "मैं हूँ गोल-गोल, ऊपर-नीचे", वृत्तों का अध्ययन करता है: केंद्र से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के बिंदुपथ के रूप में उनकी परिभाषा, उनकी सममितियाँ, जीवाओं के गुण और उनके द्वारा बनाए गए कोण, चाप, और संचक्रीय बिंदु।

• 1वृत्त उन बिंदुओं का बिंदुपथ है जो एक नियत केंद्र से समान दूरी पर हों
• 2वृत्त में पूर्ण घूर्णन सममिति और किसी भी व्यास के सापेक्ष परावर्तन सममिति होती है
• 3दो बिंदुओं से अनंत वृत्त गुजर सकते हैं; केंद्र लंबसमद्विभाजक पर स्थित होते हैं
• 4तीन असंरेख बिंदुओं से एक अद्वितीय परिवृत्त गुजरता है
• 5समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं, और विलोमतः भी

कक्षा 9 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 6, "समष्टि मापन— परिमाप और क्षेत्रफल", आकृतियों का परिमाप और क्षेत्रफल मापना सिखाता है — इसमें वृत्त की परिधि (2*pi*r), चाप की लंबाई, वृत्तखंड, त्रिभुजों का क्षेत्रफल, हेरॉन का सूत्र, और वृत्त का क्षेत्रफल (pi*r²) शामिल हैं।

• 1वृत्त का परिमाप (परिधि) C = 2*pi*r है, व्यास d से pi*d भी
• 2pi एक अपरिमेय परिधि-से-व्यास (C/D) अनुपात है, लगभग 22/7 या 3.14
• 3t डिग्री कोण पर चाप की लंबाई 2*pi*r * (t/360) है
• 4त्रिभुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई का आधा (1/2 * b * h)
• 5हेरॉन का सूत्र: क्षेत्रफल = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)), जहाँ s = (a+b+c)/2

कक्षा 9 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 7, "संभावनाओं का गणित— प्रायिकता का परिचय", प्रायिकता को किसी यादृच्छिक घटना की संभावना के माप के रूप में प्रस्तुत करता है — 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के पैमाने पर — और प्रायोगिक तथा सैद्धांतिक प्रायिकता, प्रतिदर्श समष्टि, घटनाएँ और वृक्ष आरेख को शामिल करता है।

• 1प्रायिकता 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के पैमाने पर संभावना मापती है
• 2यादृच्छिकता का अर्थ है कि परिणाम ज्ञात हैं परंतु प्रत्येक परिणाम अनिश्चित है
• 3प्रायोगिक प्रायिकता = घटना की पुनरावृत्ति / परीक्षणों की कुल संख्या
• 4सैद्धांतिक प्रायिकता P = अनुकूल परिणाम / संभावित परिणाम
• 5प्रतिदर्श समष्टि S में सभी संभावित परिणाम होते हैं; n(S) प्रतिदर्श आकार है

कक्षा 9 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 8, "अगले पद का पूर्वानुमान— अनुक्रमों और श्रेढ़ियों का अन्वेषण", अनुक्रमों को संख्याओं की क्रमित सूचियों के रूप में प्रस्तुत करता है और स्पष्ट तथा पुनरावर्ती नियम, समांतर श्रेढ़ी, गुणोत्तर श्रेढ़ी, और पहले n प्राकृत संख्याओं के योग को सिखाता है।

• 1अनुक्रम संख्याओं की एक क्रमित सूची है; प्रत्येक संख्या एक पद है
• 2स्पष्ट नियम स्थिति n का उपयोग करके nवाँ पद सीधे परिकलित करता है
• 3पुनरावर्ती नियम प्रत्येक पद को पूर्व पदों से परिभाषित करता है
• 4विरहांक-फ़िबोनाची: V1 = 1, V2 = 2, Vn = V(n-1) + V(n-2)
• 5AP का nवाँ पद: tn = a + (n - 1)d, जहाँ d सार्व-अंतर है