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अवलोकन

सारांश

कक्षा 9 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 6, "समष्टि मापन— परिमाप और क्षेत्रफल", आकृतियों का परिमाप और क्षेत्रफल मापना सिखाता है — इसमें वृत्त की परिधि (2*pi*r), चाप की लंबाई, वृत्तखंड, त्रिभुजों का क्षेत्रफल, हेरॉन का सूत्र, और वृत्त का क्षेत्रफल (pi*r²) शामिल हैं।

  • परिमाप से क्षेत्रफल तक — अध्याय परिमाप — किसी आकृति की सीमा की कुल लंबाई — से आरंभ होकर क्षेत्रफल की ओर बढ़ता है, जो बहुभुजों और वक्राकार आकृतियों जैसे वृत्त दोनों के मापन को विकसित करता है।
  • नियतांक pi — प्रत्येक वृत्त के परिधि-से-व्यास अनुपात का नियतांक pi (लगभग 22/7 या 3.14) एक अपरिमेय संख्या है। इसका इतिहास प्राचीन अनुमानों से लेकर माधव की अनंत श्रृंखला तक फैला है।
  • वृत्त के माप — केंद्रीय कोणों का उपयोग करते हुए, अध्याय चाप की लंबाई और वृत्तखंड का क्षेत्रफल निकालता है, और सिद्ध करता है कि वृत्त का क्षेत्रफल pi*r² है — जिससे पूरे वृत्त और उसके भागों के सूत्र प्राप्त होते हैं।
  • बहुभुजों के क्षेत्रफल — आयत, समांतर चतुर्भुज और त्रिभुज के क्षेत्रफल-सूत्र हेरॉन के सूत्र तक ले जाते हैं जो किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं से देता है, और ब्रह्मगुप्त का सूत्र इसे चक्रीय चतुर्भुजों तक सामान्यीकृत करता है।
मुख्य बातें

मुख्य बिंदु और सूत्र

  1. 01वृत्त का परिमाप (परिधि) C = 2*pi*r है, व्यास d से pi*d भी
  2. 02pi एक अपरिमेय परिधि-से-व्यास (C/D) अनुपात है, लगभग 22/7 या 3.14
  3. 03t डिग्री कोण पर चाप की लंबाई 2*pi*r * (t/360) है
  4. 04त्रिभुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई का आधा (1/2 * b * h)
  5. 05हेरॉन का सूत्र: क्षेत्रफल = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)), जहाँ s = (a+b+c)/2
  6. 06वृत्त का क्षेत्रफल A = pi*r²; वृत्तखंड का क्षेत्रफल pi*r² * (t/360)
  7. 07ब्रह्मगुप्त का सूत्र चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल देता है और हेरॉन के सूत्र को सामान्यीकृत करता है
प्रश्न

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

01

कक्षा 9 गणित अध्याय 6 में हेरॉन का सूत्र क्या है?

हेरॉन का सूत्र किसी त्रिभुज की तीन भुजाओं a, b और c से उसका क्षेत्रफल ज्ञात करता है। पहले अर्ध-परिमाप s = (a + b + c)/2 परिकलित करें, फिर क्षेत्रफल = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))। 3-4-5 त्रिभुज के लिए, s = 6 और क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई निकलता है।

02

इस अध्याय में pi का मान क्या उपयोग किया जाता है?

pi वह नियत अनुपात है जो किसी वृत्त की परिधि और व्यास के बीच होता है, और यह लगभग 22/7 या 3.14 है। अध्याय बताता है कि pi अपरिमेय है, इसलिए यह 22/7 के निकट है परंतु बराबर नहीं; इसका एक बहुत बेहतर अनुमान 355/113 (लगभग 3.1415929) है।

03

वृत्त और वृत्तखंड का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करते हैं?

त्रिज्या r वाले वृत्त का क्षेत्रफल A = pi*r² है, जिसे आर्किमिडीज़ ने लगभग 250 ई.पू. सिद्ध किया। उस वृत्तखंड का क्षेत्रफल जो केंद्र पर t डिग्री कोण बनाता है, pi*r² * (t/360) है, जो पूरे वृत्त के क्षेत्रफल का उतना भाग है।

04

ब्रह्मगुप्त का सूत्र क्या है और यह हेरॉन के सूत्र से कैसे संबंधित है?

ब्रह्मगुप्त (628 ई.) ने a, b, c, d भुजाओं वाले चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल sqrt((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)) के रूप में ज्ञात किया, जहाँ s = (a+b+c+d)/2। चौथी भुजा d = 0 रखने पर चतुर्भुज एक त्रिभुज बन जाता है, इस प्रकार ब्रह्मगुप्त का सूत्र हेरॉन के सूत्र को सामान्यीकृत करता है।

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