अध्याय 4: बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण

कक्षा 9 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 4, "बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण", (a+b)² = a² + 2ab + b² जैसी सर्वसमिकाओं का परिचय देता है, उन्हें ज्यामितीय मॉडलों और बीजगणित टाइलों से दृश्यमान करता है, और व्यंजकों का विस्तार करने, गुणनखंडन करने, परिमेय व्यंजकों को सरल करने तथा गणनाओं को तीव्र बनाने के लिए उनका उपयोग करता है।

• सर्वसमिका बनाम समीकरण — एक बीजीय सर्वसमिका अपने सभी चरों के प्रत्येक मान के लिए सत्य होती है, जबकि एक साधारण समीकरण केवल विशेष मानों के लिए सत्य होता है। यह अंतर यह आधार देता है कि सर्वसमिकाओं का उपयोग और सत्यापन किस प्रकार किया जाता है।
• सर्वसमिकाओं का दृश्यीकरण — वर्ग और घन सर्वसमिकाओं को वर्गों, आयतों, घन और बीजगणित टाइलों से दिखाया जाता है, फिर वितरण नियम से पुष्टि की जाती है, जिससे नियम देखे भी जाते हैं और सिद्ध भी।
• वर्ग और घन — अध्याय (a+b)² और (a+b+c)² जैसी वर्ग सर्वसमिकाओं से आगे बढ़कर (a+b)³ जैसी घन सर्वसमिकाओं, घनों के योग और अंतर, और x³⁺y³⁺z³⁻3xyz सर्वसमिका तक पहुँचता है।
• विस्तार और गुणनखंडन — सर्वसमिकाएँ कार्य को सरल बनाती हैं: द्विपदों का विस्तार, 43² जैसे वर्गों का मानसिक मूल्यांकन, द्विघात बहुपदों का गुणनखंडन करने के लिए मध्य पद का विभाजन, और परिमेय व्यंजकों का सरलीकरण।

1. 01सर्वसमिका (a+b)² = a² + 2ab + b² और (a-b)² = a² - 2ab + b²
2. 02सर्वसमिका सभी मानों के लिए सत्य है; समीकरण के लिए यह आवश्यक नहीं
3. 03तीन-पद वर्ग: (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
4. 04वर्गों का अंतर: a² - b² = (a+b)(a-b)
5. 05घन सर्वसमिकाएँ (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ और (a-b)³
6. 06x³ - y³ = (x-y)(x²⁺xy+y²) और x³⁺y³⁺z³⁻3xyz सर्वसमिका
7. 07बीजगणित टाइलों और मध्य पद विभाजन द्वारा द्विघात बहुपदों का गुणनखंडन