गणित

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 1, "समुच्चय", वस्तुओं के सुपरिभाषित संग्रह की अवधारणा प्रस्तुत करता है जो आधुनिक गणित की समस्त शाखाओं का आधार है। जॉर्ज कैंटर ने 1870 के दशक में त्रिकोणमितीय श्रेणियों के अध्ययन के दौरान समुच्चय सिद्धांत विकसित किया।

• 1समुच्चय वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है; किसी भी वस्तु की सदस्यता सदैव निर्धारित की जा सकती है
• 2दो निरूपण विधियाँ: रोस्टर रूप {1,2,3} और समुच्चय-निर्माण रूप {x: प्रतिबंध}
• 3रिक्त समुच्चय (φ) में कोई अवयव नहीं होता; परिमित समुच्चयों की निश्चित आधारशीलता होती है; अपरिमित समुच्चयों में असीमित अवयव होते हैं
• 4उपसमुच्चय (A ⊂ B) का अर्थ है A का प्रत्येक अवयव B में भी है; उचित उपसमुच्चय समानता को छोड़ देते हैं
• 5समुच्चय संक्रियाओं में सर्वांगसम (∪), सर्वनिष्ठ (∩), अंतर (-) और पूरक (') शामिल हैं; ये क्रमविनिमेयता, साहचर्यता और वितरणीयता के नियमों का पालन करते हैं

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 2, "संबंध एवं फलन", क्रमित युग्मों, कार्तीय गुणनफल, संबंधों (प्रांत, परिसर, सहक्षेत्र) तथा विशेष प्रकार के फलनों को समाविष्ट करता है। अध्याय की पीडीएफ निःशुल्क डाउनलोड की जा सकती है।

• 1कार्तीय गुणनफल P × Q = {(p,q) : p ∈ P, q ∈ Q}; यदि कोई भी समुच्चय रिक्त हो तो गुणनफल रिक्त समुच्चय होता है
• 2क्रमित युग्म तभी समान होते हैं जब दोनों संगत अवयव मेल खाएँ: (a,b) = (x,y) यदि और केवल यदि a=x और b=y
• 3A से B तक संबंध R, A × B का उपसमुच्चय है; प्रांत = प्रथम अवयव, परिसर = द्वितीय अवयव, सहक्षेत्र = पूरा समुच्चय B
• 4फलन f: A → B के लिए A के प्रत्येक अवयव का B में ठीक एक प्रतिबिम्ब होना आवश्यक है; सभी संबंध फलन नहीं होते
• 5वास्तविक फलन का प्रांत और परिसर R या R के उपसमुच्चय होते हैं; सामान्य प्रकारों में बहुपद, परिमेय, मापांक और चिह्न फलन शामिल हैं

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 3, "त्रिकोणमितीय फलन", रेडियन एवं डिग्री माप का उपयोग करते हुए त्रिकोणमितीय अनुपातों को समस्त वास्तविक कोणों तक विस्तारित करता है, इकाई वृत्त के निर्देशांकों से छह फलन परिभाषित करता है और भौतिकी, इंजीनियरिंग, नौचालन तथा भूकम्पविज्ञान में उनके अनुप्रयोग प्रस्तुत करता है।

• 1कोण माप: डिग्री (360वाँ भाग) और रेडियन (इकाई वृत्त में चाप लम्बाई / त्रिज्या), सम्बन्ध: π रेडियन = 180°
• 2इकाई वृत्त द्वारा परिभाषित त्रिकोणमितीय फलन: cos x = x-निर्देशांक, sin x = y-निर्देशांक, मूलभूत तादात्म्यता sin²x + cos²x = 1
• 3प्रांत और परिसर: sin/cos समस्त वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित, परिसर [−1, 1]; tan/cot क्रमशः π/2 के विषम गुणजों और π के गुणजों को छोड़कर परिभाषित
• 4योग सूत्र: cos(x+y) = cos x cos y − sin x sin y; sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y; tan(x+y) = (tan x + tan y)/(1 − tan x tan y)
• 5द्विगुण-कोण सूत्र: sin 2x = 2 sin x cos x; cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x; tan 2x = 2tan x/(1 − tan²x)

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 4, "सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण", x² = -1 जैसी समीकरणें हल करने के लिए काल्पनिक इकाई i प्रस्तुत करके वास्तविक संख्या निकाय का विस्तार करता है और सम्मिश्र संख्याओं के बीजगणित, मापांक, संयुग्मी तथा आर्गंड तल को समाविष्ट करता है।

• 1सम्मिश्र संख्या z = a + ib का वास्तविक भाग a और काल्पनिक भाग b होता है; दो सम्मिश्र संख्याएँ तभी समान हैं जब दोनों भाग मेल खाएँ
• 2चार मूलभूत संक्रियाएँ: z₁+z₂=(a+c)+i(b+d), z₁z₂=(ac-bd)+i(ad+bc), भाग गुणनात्मक प्रतिलोम z⁻¹=z̄/|z|² द्वारा
• 3काल्पनिक इकाई i की घातें 4 के चक्र में दोहराती हैं: i²=-1, i³=-i, i⁴=1, फिर दोहराव; i⁻¹=-i, i⁻²=-1, i⁻³=i, i⁻⁴=1
• 4ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल: √(-a)=√(a)i जहाँ a धनात्मक है; किंतु √(ab)≠√a·√b जब a,b दोनों <0 हों (i²=-1 से विरोधाभास)
• 5मापांक |z|=√(a²+b²) मूलबिंदु से दूरी मापता है; संयुग्मी z̄=a-ib आर्गंड तल में वास्तविक अक्ष का परावर्तन है

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 5, "रैखिक असमिकाएँ", <, >, ≤ या ≥ द्वारा वास्तविक संख्याओं या बीजगणितीय व्यंजकों को सम्बद्ध करने वाले कथनों को सम्मिलित करता है और एक चर तथा दो चरों वाली रैखिक असमिकाओं को बीजगणितीय और आलेखीय विधि से हल करना सिखाता है।

• 1असमिका में <, >, ≤ या ≥ द्वारा सम्बद्ध दो वास्तविक संख्याएँ या बीजगणितीय व्यंजक होते हैं; समीकरणों के विपरीत, असमिकाएँ मानों की परास व्यक्त करती हैं, सटीक हल नहीं।
• 2असमिका का हल चर का वह मान है जो कथन को सत्य बनाता है; हल प्रायः अंतरालों (जैसे x ∈ (−∞, 2)) या संख्या-रेखा पर आलेखीय रूप में दर्शाए जाते हैं।
• 3नियम 1: असमिका के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने या घटाने से असमिका का चिह्न नहीं बदलता; नियम 2: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न यथावत् रहता है, किंतु ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न उलट जाता है (जैसे 3 > 2 से −3 < −2)।
• 4एक चर की रैखिक असमिका का रूप ax + b < 0 (या >, ≤, ≥) होता है; दो चरों में ax + by < c (या >, ≤, ≥); ax² + bx + c ≤ 0 जैसी उच्च-घात असमिकाएँ द्विघातीय हैं, रैखिक नहीं।
• 5द्विक असमिकाएँ (जैसे −8 ≤ 5x − 3 < 7) को दो युगपत असमिकाओं के रूप में हल किया जाता है; आलेखीय रूप में हल वह क्षेत्र है जहाँ दोनों शर्तें संख्या-रेखा पर मेल खाती हैं।

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 6, "क्रमचय और संचय", गणना-तकनीकों, क्रमगुणित संकेतन तथा वस्तुओं की व्यवस्थाओं और चयनों को बिना सूचीबद्ध किए गणना करने के सूत्रों को समाविष्ट करता है।

• 1गणना का मूलभूत सिद्धांत: यदि कोई घटना m प्रकार से और दूसरी घटना n प्रकार से हो सकती है, तो संयुक्त घटनाओं की कुल संख्या = m × n
• 2क्रमगुणित संकेतन: n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, परिभाषा से 0! = 1
• 3क्रमचय (nPr) क्रमित व्यवस्थाएँ गिनता है; सूत्र: nPr = n!/(n-r)! जहाँ 0 ≤ r ≤ n
• 4संचय (nCr) अव्यवस्थित चयन गिनता है; सूत्र: nCr = n!/[r!(n-r)!]; nCn-r = nCr संतुष्ट करता है
• 5पुनरावृत्ति की अनुमति से क्रमचय: nr (r स्थानों में से प्रत्येक को n विधियों से भरा जा सकता है)

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 7, "द्विपद प्रमेय", किसी भी धनपूर्ण पूर्णांक n के लिए (a + b)ⁿ को बार-बार गुणन किए बिना विस्तारित करने का एक सूत्र देता है, जिसमें पदों ⁿC₀aⁿ + ⁿC₁aⁿ⁻¹b + … + ⁿCₙbⁿ से द्विपद गुणांक ⁿCᵣ का उपयोग होता है।

• 1द्विपद प्रमेय: (a + b)ⁿ = ΣⁿCₖaⁿ⁻ᵏbᵏ, k=0 से n तक, जहाँ ⁿCᵣ = n!/(r!(n–r)!)
• 2पास्कल का त्रिभुज और द्विपद गुणांक गुणन किए बिना विस्तार के गुणांक देते हैं
• 3(a + b)ⁿ के विस्तार में सदा (n+1) पद होते हैं; प्रत्येक पद में a और b के घातांकों का योग n होता है
• 4विशेष स्थितियाँ: (x – y)ⁿ में एकांतर चिह्न; (1 + x)ⁿ सरल होकर ⁿC₀ + ⁿC₁x + ⁿC₂x² + ... बनता है
• 5व्यावहारिक अनुप्रयोगों में बड़ी घातों की गणना (जैसे (98)⁵ = 9039207968) और विभाज्यता सिद्ध करना (जैसे 6ⁿ – 5ⁿ ≡ 1 mod 25) शामिल है

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 8, "अनुक्रम तथा श्रेणी", समांतर और गुणोत्तर श्रेढ़ियों, उनके n वें पद तथा योगफल के सूत्रों, गुणोत्तर माध्यों और समांतर माध्य एवं गुणोत्तर माध्य के परस्पर संबंध को समझाता है।

• 1अनुक्रम संख्याओं का वह क्रमबद्ध संग्रह है जिसमें प्रत्येक पद की एक निश्चित स्थिति होती है; परिमित अनुक्रम में पद सीमित होते हैं, अनंत अनुक्रम कभी समाप्त नहीं होते
• 2गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P.) तब परिभाषित होती है जब किसी पद और उसके पूर्ववर्ती पद का अनुपात स्थिर (r) हो; रूप: a, ar, ar², ar³, ...
• 3G.P. का n वाँ पद an = ar^(n–1); प्रथम n पदों का योग Sn = a(rⁿ–1)/(r–1) जब r ≠ 1, और Sn = na जब r = 1
• 4दो धनात्मक संख्याओं a और b का गुणोत्तर माध्य (G.M.) = √(ab); किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं के बीच अनेक गुणोत्तर माध्य रखे जा सकते हैं
• 5समांतर माध्य (A.M.) और गुणोत्तर माध्य (G.M.) का संबंध: A ≥ G, और समता केवल तभी होती है जब a = b

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 9, "सरल रेखाएँ", निर्देशांक ज्यामिति में रेखाओं को ढाल-अंतःखंड, बिंदु-ढाल या अंतःखंड रूपों से परिभाषित करता है और समांतरता, लम्बवत्ता तथा दूरी का विश्लेषण संभव बनाता है।

• 1ढाल m = tan θ रेखा का झुकाव मापता है; ऊर्ध्वाधर रेखाओं के लिए (θ = 90°) अपरिभाषित होता है
• 2दो बिंदुओं से ढाल: m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) न्यून और अधिक दोनों कोणों के लिए काम करता है
• 3समांतर रेखाओं के ढाल बराबर होते हैं; लम्बवत् रेखाओं के ढाल का गुणनफल m₁m₂ = -1 होता है
• 4समीकरण रूप: बिंदु-ढाल y - y₀ = m(x - x₀), द्वि-बिंदु, ढाल-अंतःखंड y = mx + c, अंतःखंड x/a + y/b = 1
• 5बिंदु (x₁,y₁) से रेखा Ax + By + C = 0 की लम्बवत् दूरी: d = |Ax₁ + By₁ + C|/√(A² + B²)

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 10, "शंकु परिच्छेद", एक लम्ब वृत्तीय शंकु को एक तल से काटने पर बनने वाले वक्रों — वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय — को उनके विशिष्ट ज्यामितीय गुणों और समीकरणों सहित समझाता है, जिनके उपयोग ग्रहीय गति और परावर्तक-अभिकल्प में होते हैं।

• 1वृत्त: (x – h)² + (y – k)² = r², जहाँ (h, k) केंद्र और r त्रिज्या है
• 2परवलय: y² = 4ax (दाईं ओर खुला), जहाँ नाभि (a, 0) पर और नियता x = –a है; नाभिलम्ब की लंबाई = 4a
• 3दीर्घवृत्त: x²/a² + y²/b² = 1 (नाभियाँ x-अक्ष पर), जहाँ c² = a² – b² और उत्केंद्रता e = c/a; नाभिलम्ब की लंबाई = 2b²/a
• 4अतिपरवलय: x²/a² – y²/b² = 1 (अनुप्रस्थ अक्ष x-अक्ष पर), जहाँ c² = a² + b² और उत्केंद्रता e = c/a (सदैव > 1); नाभिलम्ब की लंबाई = 2b²/a
• 5अपभ्रष्ट स्थितियाँ तब होती हैं जब तल शंकु के शीर्ष से होकर काटता है: बिंदु (α < β ≤ 90°), सरल रेखा (β = α), या प्रतिच्छेदी रेखाओं का युग्म (0 ≤ β < α)

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 11, "त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय", तीन परस्पर लम्बवत् अक्षों और तलों की त्रिविमीय निर्देशांक प्रणाली का परिचय देता है, अंतरिक्ष में किसी बिंदु को क्रमित त्रिक (x, y, z) से निरूपित करता है तथा दूरियाँ और अष्टांशकों को समझाता है।

• 1त्रिविमीय अंतरिक्ष में तीन परस्पर लम्बवत् निर्देशांक अक्ष (x, y, z) मूल बिंदु O पर मिलते हैं
• 2तीन निर्देशांक तल (XY, YZ, ZX) अंतरिक्ष को आठ अष्टांशकों में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक के निर्देशांकों के चिह्न अलग-अलग होते हैं
• 3बिंदु P(x, y, z) के निर्देशांक क्रमशः YZ, ZX और XY तलों से लम्बवत् दूरियाँ दर्शाते हैं
• 4दो बिंदुओं के बीच दूरी: PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²]; मूल बिंदु से Q(x, y, z) की दूरी = √(x² + y² + z²)
• 5अक्षों पर स्थित बिंदुओं के दो निर्देशांक शून्य होते हैं; निर्देशांक तलों पर स्थित बिंदुओं का एक निर्देशांक शून्य होता है

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 12, "सीमा और अवकलज", कलन का परिचय देता है और बताता है कि फलन कैसे परिवर्तित होते हैं; अवकलज किसी बिंदु पर तात्कालिक परिवर्तन की दर मापता है, जिसकी गणना औसत परिवर्तन दरों की सीमा के रूप में की जाती है।

• 1f(x) की सीमा जब x→a हो तो l होती है, जब बायाँ और दायाँ दोनों हस्त सीमाएँ l के बराबर हों (निरूपण lim f(x) = l)
• 2अवकलज f'(a) = lim[f(a+h)−f(a)]/h बिंदु a पर वक्र की स्पर्श रेखा का ढाल मापता है
• 3सीमाओं का बीजगणित: सीमाओं के योग, अंतर, गुणनफल और भागफल उन्हीं संक्रियाओं की सीमाओं के बराबर होते हैं (जब हर ≠ 0 हो)
• 4मुख्य त्रिकोणमितीय सीमाएँ: x→0 पर lim(sin x/x) = 1 और lim(1−cos x)/x = 0; सैंडविच प्रमेय (निपीडन प्रमेय) से सिद्ध
• 5अवकलज नियम: (u+v)' = u'+v', (uv)' = u'v+uv' (गुणनफल नियम), (u/v)' = (u'v−uv')/v² (भागफल नियम)

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 13, "सांख्यिकी", केंद्रीय प्रवृत्ति के माप (माध्य, माध्यिका, बहुलक) और विक्षेपण के माप (परिसर, माध्य विचलन, प्रसरण, मानक विचलन) को समूहित और असमूहित आँकड़ों के लिए समझाता है और यह विश्लेषण करता है कि आँकड़े केंद्रीय मान से कैसे भिन्न होते हैं।

• 1केंद्रीय प्रवृत्ति के माप अकेले अपर्याप्त हैं; विक्षेपण के माप आँकड़ों के बिखराव और परिवर्तनशीलता को उजागर करते हैं
• 2परिसर सबसे सरल विक्षेपण माप है: अधिकतम और न्यूनतम मानों का अंतर
• 3माध्य विचलन माध्य या माध्यिका से पूर्ण विचलनों का औसत है; इसमें बीजगणितीय संक्रिया नहीं की जा सकती
• 4प्रसरण माध्य से वर्ग विचलनों का माध्य है; मानक विचलन उसका धनात्मक वर्गमूल है
• 5पद-विचलन विधि तब गणना सरल बनाती है जब आँकड़ों के मान या वर्ग-मध्यबिंदु बड़े हों

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 14, "प्रायिकता", घटनाओं की संभावना को स्वयंसिद्ध नियमों द्वारा मापता है: किसी घटना E के लिए 0 ≤ P(E) ≤ 1, प्रतिदर्श समष्टि के लिए P(S) = 1 और असंभव घटना के लिए P(φ) = 0।

• 1घटना प्रतिदर्श समष्टि का कोई भी उपसमुच्चय है; सरल घटनाओं में एक और यौगिक घटनाओं में एक से अधिक प्रतिदर्श बिंदु होते हैं
• 2परस्पर अपवर्जी घटनाएँ एक साथ नहीं हो सकतीं (A ∩ B = φ); संपूर्ण घटनाएँ संयुक्त होने पर पूरी प्रतिदर्श समष्टि को ढकती हैं
• 3प्रायिकता के तीन स्वयंसिद्ध: P(E) ≥ 0, P(S) = 1, और परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए P(E ∪ F) = P(E) + P(F)
• 4समान-संभाव्य परिणामों के लिए घटना A की प्रायिकता = n(A)/n(S) (अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम)
• 5सर्वांगसमता नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B); पूरक नियम: P(A') = 1 - P(A)