अध्याय 4: सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 4, "सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण", x² = -1 जैसी समीकरणें हल करने के लिए काल्पनिक इकाई i प्रस्तुत करके वास्तविक संख्या निकाय का विस्तार करता है और सम्मिश्र संख्याओं के बीजगणित, मापांक, संयुग्मी तथा आर्गंड तल को समाविष्ट करता है।

• संख्या निकाय का विस्तार क्यों — यह अध्याय सम्मिश्र संख्याओं को उन समीकरणों के समाधान के रूप में प्रेरित करता है जिनका वास्तविक निकाय में कोई हल नहीं है — a + ib के रूप में, जहाँ a वास्तविक और b काल्पनिक भाग है — ताकि वे द्विघाती समीकरणें भी हल हो सकें जो वास्तविक निकाय में अनुत्तरित रह जाती थीं।
• सम्मिश्र संख्याओं का पूर्ण बीजगणित — यह अध्याय सम्मिश्र संख्याओं के लिए योग, व्यवकलन, गुणन और भाग विकसित करता है और दिखाता है कि परिचित बीजगणितीय तादात्म्यताएँ यहाँ भी मान्य हैं — यह स्थापित करते हुए कि यह नया संख्या-समुच्चय एक पूर्ण, संगत अंकगणित निकाय की तरह व्यवहार करता है।
• आर्गंड तल में ज्यामिति — मापांक और संयुग्मी को आर्गंड तल के साथ प्रस्तुत किया जाता है जहाँ प्रत्येक सम्मिश्र संख्या एक बिंदु बन जाती है, जिससे अंकगणितीय संक्रियाओं को दूरी और परावर्तन का एक दृश्य, ज्यामितीय अर्थ मिलता है।

1. 01सम्मिश्र संख्या z = a + ib का वास्तविक भाग a और काल्पनिक भाग b होता है; दो सम्मिश्र संख्याएँ तभी समान हैं जब दोनों भाग मेल खाएँ
2. 02चार मूलभूत संक्रियाएँ: z₁+z₂=(a+c)+i(b+d), z₁z₂=(ac-bd)+i(ad+bc), भाग गुणनात्मक प्रतिलोम z⁻¹=z̄/|z|² द्वारा
3. 03काल्पनिक इकाई i की घातें 4 के चक्र में दोहराती हैं: i²=-1, i³=-i, i⁴=1, फिर दोहराव; i⁻¹=-i, i⁻²=-1, i⁻³=i, i⁻⁴=1
4. 04ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल: √(-a)=√(a)i जहाँ a धनात्मक है; किंतु √(ab)≠√a·√b जब a,b दोनों <0 हों (i²=-1 से विरोधाभास)
5. 05मापांक |z|=√(a²+b²) मूलबिंदु से दूरी मापता है; संयुग्मी z̄=a-ib आर्गंड तल में वास्तविक अक्ष का परावर्तन है
6. 06सम्मिश्र संख्याओं के लिए मुख्य बीजगणितीय तादात्म्यताएँ: (z₁-z₂)²=z₁²-2z₁z₂+z₂², (z₁+z₂)³=z₁³+3z₁²z₂+3z₁z₂²+z₂³, z₁²-z₂²=(z₁+z₂)(z₁-z₂)