अध्याय 11: त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय

कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 11, "त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय", तीन परस्पर लम्बवत् अक्षों और तलों की त्रिविमीय निर्देशांक प्रणाली का परिचय देता है, अंतरिक्ष में किसी बिंदु को क्रमित त्रिक (x, y, z) से निरूपित करता है तथा दूरियाँ और अष्टांशकों को समझाता है।

• निर्देशांकों का अंतरिक्ष में विस्तार — अध्याय परिचित द्विविमीय निर्देशांक ज्यामिति को तीन आयामों में ले जाता है — तीसरा लम्बवत् अक्ष जोड़कर — ताकि अंतरिक्ष का प्रत्येक बिंदु अब दो के बजाय तीन निर्देशांकों से निश्चित हो।
• तल, अष्टांशक और निर्देशांकों के चिह्न — तीन निर्देशांक तल अंतरिक्ष को आठ अष्टांशकों में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक के चिह्नों का अपना प्रतिरूप होता है, और किसी बिंदु के निर्देशांक उन तलों से लम्बवत् दूरियों के रूप में पढ़े जाते हैं।
• त्रिविम में दूरी मापना — दूरी सूत्र को तीन आयामों में सामान्यीकृत किया जाता है, जिससे बिंदुओं के बीच अंतर की गणना और फिर निर्देशांकों से सरेखता और त्रिभुज के प्रकार जैसी ज्यामितीय विशेषताओं का सत्यापन सीधे किया जा सकता है।

1. 01त्रिविमीय अंतरिक्ष में तीन परस्पर लम्बवत् निर्देशांक अक्ष (x, y, z) मूल बिंदु O पर मिलते हैं
2. 02तीन निर्देशांक तल (XY, YZ, ZX) अंतरिक्ष को आठ अष्टांशकों में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक के निर्देशांकों के चिह्न अलग-अलग होते हैं
3. 03बिंदु P(x, y, z) के निर्देशांक क्रमशः YZ, ZX और XY तलों से लम्बवत् दूरियाँ दर्शाते हैं
4. 04दो बिंदुओं के बीच दूरी: PQ = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²]; मूल बिंदु से Q(x, y, z) की दूरी = √(x² + y² + z²)
5. 05अक्षों पर स्थित बिंदुओं के दो निर्देशांक शून्य होते हैं; निर्देशांक तलों पर स्थित बिंदुओं का एक निर्देशांक शून्य होता है
6. 06दूरी सूत्र ज्यामितीय विशेषताओं जैसे सरेखता, त्रिभुज के प्रकार और चतुर्भुज की आकृतियों के सत्यापन में सहायक है