सारांश
कक्षा 11 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 5, "रैखिक असमिकाएँ", <, >, ≤ या ≥ द्वारा वास्तविक संख्याओं या बीजगणितीय व्यंजकों को सम्बद्ध करने वाले कथनों को सम्मिलित करता है और एक चर तथा दो चरों वाली रैखिक असमिकाओं को बीजगणितीय और आलेखीय विधि से हल करना सिखाता है।
- असमिकाएँ बिंदु नहीं, परास व्यक्त करती हैं — यह अध्याय असमिकाओं की तुलना समीकरणों से करता है: एकल सटीक उत्तर के बजाय हल एक पूरी परास के मान होते हैं, इसीलिए ये विज्ञान, अर्थशास्त्र और सांख्यिकी में प्रतिबंधों को इतने स्वाभाविक रूप से व्यक्त करती हैं।
- हल करने के नियम — हल करना दो संक्रिया-नियमों पर आधारित है — जोड़ने या घटाने से चिह्न नहीं बदलता, किंतु ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न उलट जाता है — और यह चिह्न-उलटाव वह प्रमुख सूक्ष्मता है जो असमिका-बीजगणित को समीकरण-बीजगणित से अलग करती है।
- हलों का निरूपण और अनुप्रयोग — हलों को समुच्चयों, अंतरालों या संख्या-रेखा आरेखों के रूप में व्यक्त किया जाता है, और यह अध्याय उन्हें बजट, मिश्रण और तापमान-परास जैसी वास्तविक समस्याओं पर, द्विक और युगपत असमिकाओं सहित, लागू करता है।
मुख्य बिंदु और सूत्र
- 01असमिका में <, >, ≤ या ≥ द्वारा सम्बद्ध दो वास्तविक संख्याएँ या बीजगणितीय व्यंजक होते हैं; समीकरणों के विपरीत, असमिकाएँ मानों की परास व्यक्त करती हैं, सटीक हल नहीं।
- 02असमिका का हल चर का वह मान है जो कथन को सत्य बनाता है; हल प्रायः अंतरालों (जैसे x ∈ (−∞, 2)) या संख्या-रेखा पर आलेखीय रूप में दर्शाए जाते हैं।
- 03नियम 1: असमिका के दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने या घटाने से असमिका का चिह्न नहीं बदलता; नियम 2: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न यथावत् रहता है, किंतु ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न उलट जाता है (जैसे 3 > 2 से −3 < −2)।
- 04एक चर की रैखिक असमिका का रूप ax + b < 0 (या >, ≤, ≥) होता है; दो चरों में ax + by < c (या >, ≤, ≥); ax² + bx + c ≤ 0 जैसी उच्च-घात असमिकाएँ द्विघातीय हैं, रैखिक नहीं।
- 05द्विक असमिकाएँ (जैसे −8 ≤ 5x − 3 < 7) को दो युगपत असमिकाओं के रूप में हल किया जाता है; आलेखीय रूप में हल वह क्षेत्र है जहाँ दोनों शर्तें संख्या-रेखा पर मेल खाती हैं।
- 06व्यावहारिक अनुप्रयोगों में प्रतिबंधों वाली वास्तविक समस्याएँ शामिल हैं: लक्षित औसत के लिए न्यूनतम परीक्षा अंक, तापमान रूपांतरण की परास (सेल्सियस से फ़ारेनहाइट), अम्ल विलयनों के लिए मिश्रण अनुपात, और कई शर्तें पूरी करने वाले संख्या-युग्मों की पहचान।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
01समीकरण और असमिका में क्या अंतर है?
समीकरण समता चिह्न (=) का उपयोग करता है और उसका एक विशिष्ट हल होता है (जैसे x = 5)। असमिका <, >, ≤ या ≥ का उपयोग करती है और उसके हलों की एक परास होती है (जैसे x < 5 में 0, 1, 2, 3, 4 और 5 से कम सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिलित हैं)।
02ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका का चिह्न क्यों उलटता है?
क्योंकि ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर परिमाणों का क्रम उलट जाता है। उदाहरण के लिए, 3 > 2 है, किंतु −3 < −2। इसी प्रकार −8 < −7 है, किंतु (−8)(−2) = 16 > 14 = (−7)(−2)।
03−8 ≤ 5x − 3 < 7 जैसी द्विक असमिका को कैसे हल करते हैं?
तीनों खंडों पर एक साथ एक ही संक्रिया करके दोनों भागों को युगपत हल करें। −8 ≤ 5x − 3 < 7 के लिए: तीनों में 3 जोड़ने पर −5 ≤ 5x < 10, फिर 5 से भाग देने पर −1 ≤ x < 2। अतः हल-समुच्चय [−1, 2) में सभी x हैं।
04क्या एनसीईआरटी कक्षा 11 गणित अध्याय 5 की पीडीएफ निःशुल्क डाउनलोड की जा सकती है?
हाँ, एनसीईआरटी कक्षा 11 गणित अध्याय 5 रैखिक असमिकाएँ की पीडीएफ निःशुल्क डाउनलोड की जा सकती है।
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