गणित

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 1, "संबंध एवं फलन", संबंधों के प्रकार (स्वतुल्य, सममित, संक्रामक, तुल्यता), फलनों के प्रकार (एकैकी, आच्छादक, एकैकी-आच्छादक), फलनों का संघटन तथा प्रतिलोम फलन का विस्तृत अध्ययन प्रस्तुत करता है।

• 1समुच्चय A में संबंध R स्वतुल्य है यदि प्रत्येक a ∈ A के लिए (a, a) ∈ R; सममित है यदि (a, b) ∈ R से (b, a) ∈ R; तथा संक्रामक है यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R से (a, c) ∈ R।
• 2तुल्यता संबंध वह है जो एक साथ स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हो; यह समुच्चय को परस्पर अखंडित तुल्यता वर्गों में विभाजित करता है।
• 3फलन f : X → Y एकैकी (आच्छादक) है यदि f(x₁) = f(x₂) से x₁ = x₂; तथा आच्छादक है यदि Y का प्रत्येक अवयव किसी X के अवयव का प्रतिबिंब हो।
• 4एकैकी-आच्छादक फलन एकैकी और आच्छादक दोनों होता है; परिमित समुच्चय X के लिए f : X → X एकैकी होगा यदि और केवल यदि वह आच्छादक हो — यह गुण अनंत समुच्चयों के लिए सत्य नहीं है।
• 5फलनों f : A → B तथा g : B → C का संघटन gof इस प्रकार परिभाषित है: gof(x) = g(f(x)); संघटन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता (gof ≠ fog)।

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 2, "प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन", त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत एवं परिसर पर आवश्यक प्रतिबंधों का अध्ययन करता है ताकि उनके प्रतिलोम सुपरिभाषित हों, साथ ही मुख्य मान शाखाएँ एवं कलन तथा इंजीनियरिंग में प्रयुक्त प्रमुख गुणधर्मों का विवेचन करता है।

• 1प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन तभी परिभाषित होते हैं जब मूल फलन के प्रांत को एकैकी एवं आच्छादक बनाने के लिए प्रतिबंधित किया जाए; चयनित प्रतिबंधित अंतराल मुख्य मान शाखा कहलाता है।
• 2मुख्य मान शाखाओं के प्रांत और परिसर: sin⁻¹: [−1,1] → [−π/2, π/2]; cos⁻¹: [−1,1] → [0,π]; tan⁻¹: ℝ → (−π/2, π/2); cot⁻¹: ℝ → (0,π); sec⁻¹: ℝ−(−1,1) → [0,π]−{π/2}; cosec⁻¹: ℝ−(−1,1) → [−π/2, π/2]−{0}।
• 3sin⁻¹x को (sin x)⁻¹ = 1/sin x से भ्रमित नहीं करना चाहिए; प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन में ऊपरी सूचक −1 प्रतिलोम फलन को दर्शाता है, व्युत्क्रम को नहीं।
• 4y = sin⁻¹x (या किसी भी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन) का आलेख मूल आलेख का y = x रेखा के सापेक्ष परावर्तन है; मुख्य मान शाखा को मानक निर्गत के रूप में उजागर किया जाता है।
• 5मुख्य मान प्रांतों में प्रमुख तत्समकताएँ: x ∈ [−1,1] के लिए sin(sin⁻¹x) = x और x ∈ [−π/2, π/2] के लिए sin⁻¹(sinx) = x; सभी छह फलनों के लिए इसी प्रकार के परिणाम।

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 3, "आव्यूह", संख्याओं या फलनों की क्रमबद्ध आयताकार सारणी — जिसमें आव्यूहों के प्रकार, संक्रियाएँ (योग, अदिश गुणन, आव्यूह गुणन), परिवर्त, सममित एवं विषम-सममित आव्यूह तथा व्युत्क्रमणीय आव्यूह सम्मिलित हैं — का विस्तृत अध्ययन प्रस्तुत करता है।

• 1m × n कोटि के आव्यूह में m पंक्तियाँ, n स्तंभ और कुल mn अवयव होते हैं; अवयव aij i-वीं पंक्ति और j-वें स्तंभ में स्थित है।
• 2आव्यूह गुणन AB तभी परिभाषित है जब A के स्तंभों की संख्या B की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो; यदि A, m × n और B, n × p हो तो C = AB की कोटि m × p होगी।
• 3आव्यूह गुणन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता: AB ≠ BA, यद्यपि दोनों परिभाषित हों।
• 4m × n आव्यूह का परिवर्त A′, n × m आव्यूह है जिसमें पंक्तियाँ और स्तंभ आपस में बदले जाते हैं; प्रमुख गुणधर्म: (AB)′ = B′A′।
• 5वर्ग आव्यूह A सममित है यदि A′ = A, और विषम-सममित है यदि A′ = −A; प्रत्येक वर्ग आव्यूह को एक सममित तथा एक विषम-सममित आव्यूह के योग के रूप में लिखा जा सकता है।

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 4, "सारणिक", प्रत्येक वर्ग आव्यूह से संबद्ध उस संख्या का अध्ययन करता है जो रैखिक समीकरणों के अद्वितीय हल की संभावना तय करती है, साथ ही त्रिभुज के क्षेत्रफल ज्ञात करने और आव्यूह विधि द्वारा समीकरण-निकाय हल करने के अनुप्रयोग भी प्रस्तुत करता है।

• 12×2 आव्यूह A = [[a11,a12],[a21,a22]] का सारणिक a11·a22 − a21·a12 है; सारणिक केवल वर्ग आव्यूहों का होता है।
• 23×3 सारणिक का प्रसरण किसी भी पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश किया जा सकता है — सभी छह प्रसरण एकही मान देते हैं; अधिकतम शून्य वाली पंक्ति या स्तंभ से प्रसरण गणना सरल बनाता है।
• 3अवयव aij का उपसारणिक Mij, i-वीं पंक्ति और j-वें स्तंभ को हटाकर प्राप्त सारणिक है; सहखंड Aij = (−1)^(i+j) · Mij है।
• 4आव्यूह A का सहगुणक (adjoint), सहखंड आव्यूह का परिवर्त है; A⁻¹ = (1/|A|) · adj A, जो तभी संभव है जब |A| ≠ 0 (अव्यापाती आव्यूह)।
• 5शीर्षों (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2)|det([x1,y1,1; x2,y2,1; x3,y3,1])|; तीन बिंदु संरेख हों तो यह सारणिक शून्य होता है।

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 5, "सांतत्य तथा अवकलनीयता", सांतत्य एवं अवकलनीयता की औपचारिक परिभाषाएँ, श्रृंखला नियम, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय, चरघातांकी एवं लघुगणकीय फलनों के अवकलज, लघुगणकीय अवकलन, प्राचलिक अवकलन तथा द्वितीय कोटि के अवकलज का विस्तृत अध्ययन प्रस्तुत करता है।

• 1फलन f, c पर सतत है यदि lim(x→c) f(x) = f(c); महत्तम पूर्णांक फलन [x] प्रत्येक पूर्णांक पर असतत है।
• 2प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है, किंतु इसका विलोम असत्य है — f(x) = |x|, x = 0 पर सतत है परंतु वहाँ अवकलनीय नहीं।
• 3श्रृंखला नियम: संयुक्त f = v∘u के लिए, जहाँ t = u(x), df/dx = (dv/dt)·(dt/dx); यह sin(x²) जैसे फलनों का अवकलन सक्षम बनाता है।
• 4प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज: d/dx(sin⁻¹x) = 1/√(1−x²), d/dx(cos⁻¹x) = −1/√(1−x²), d/dx(tan⁻¹x) = 1/(1+x²)।
• 5प्राकृतिक चरघातांकी फलन संतुष्ट करता है d/dx(eˣ) = eˣ, और d/dx(log x) = 1/x; [u(x)]^v(x) रूपों के लिए लघुगणकीय अवकलन प्रयोग करते हैं।

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 6, "अवकलज के अनुप्रयोग", अवकलज का उपयोग परिवर्तन की दर ज्ञात करने, फलनों के वर्धमान या ह्रासमान अंतरालों को निर्धारित करने तथा प्रथम व द्वितीय अवकलज परीक्षण द्वारा उच्चिष्ठ एवं निम्निष्ठ मान ज्ञात करने में सिखाता है।

• 1अवकलज dy/dx, y के x के सापेक्ष परिवर्तन की दर को प्रदर्शित करता है; श्रृंखला नियम किसी मध्यवर्ती चर t के माध्यम से परिवर्तन की दरों को जोड़ता है।
• 2फलन f, (a, b) पर वर्धमान है यदि (a, b) के प्रत्येक x के लिए f'(x) > 0, और ह्रासमान है यदि f'(x) < 0।
• 3क्रांतिक बिंदु वह बिंदु c है जहाँ f'(c) = 0 हो या f अवकलनीय न हो; क्रांतिक बिंदु स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ के प्रत्याशी होते हैं।
• 4प्रथम अवकलज परीक्षण: यदि f'(x) का चिह्न c पर धन से ऋण होता है तो c स्थानीय उच्चिष्ठ है; ऋण से धन होता है तो c स्थानीय निम्निष्ठ है; चिह्न नहीं बदलता तो c नतिपरिवर्तन बिंदु है।
• 5द्वितीय अवकलज परीक्षण: यदि f'(c) = 0 और f''(c) < 0 तो c स्थानीय उच्चिष्ठ है; f''(c) > 0 तो c स्थानीय निम्निष्ठ है; f''(c) = 0 तो परीक्षण विफल होता है और प्रथम अवकलज परीक्षण प्रयुक्त करना होगा।

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 7, "समाकलन", समाकलन को अवकलन की व्युत्क्रम प्रक्रिया के रूप में प्रस्तुत करता है — जिसमें अनिश्चित समाकल, मानक सूत्र, प्रतिस्थापन, आंशिक भिन्न और खंडशः समाकलन की विधियाँ, तथा निश्चित समाकल और कलन के मूलभूत प्रमेय सम्मिलित हैं।

• 1समाकलन, अवकलन की व्युत्क्रम प्रक्रिया है; f(x) का प्रतिअवकलज F(x) होता है जिसके लिए F′(x) = f(x), और सामान्य अनिश्चित समाकल F(x) + C के रूप में लिखा जाता है, जहाँ C स्वेच्छ अचर है।
• 2मानक समाकल सूत्र सीधे अवकलन नियमों से प्राप्त होते हैं — उदाहरणतः ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ −1), ∫cos x dx = sin x + C, तथा ∫(1/x) dx = log|x| + C।
• 3प्रतिस्थापन विधि में x = g(t) रखने पर ∫f(x)dx, ∫f(g(t))g′(t)dt में बदल जाता है; इससे प्राप्त मुख्य परिणामों में ∫tan x dx = log|sec x| + C और ∫sec x dx = log|sec x + tan x| + C सम्मिलित हैं।
• 4आंशिक भिन्न विधि में एक उचित परिमेय फलन P(x)/Q(x) को सरल भिन्नों के योग में विभाजित किया जाता है जिनके समाकल मानक हैं; इसमें रैखिक, पुनरावृत्त रैखिक और अखंडनीय द्विघाती गुणनखंडों सहित पाँच मानक रूप आते हैं।
• 5खंडशः समाकलन सूत्र ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫[f′(x)∫g(x)dx]dx का उपयोग करता है; एक विशेष स्थिति से ∫e^x[f(x) + f′(x)]dx = e^x f(x) + C प्राप्त होता है।

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 8, "समाकलनों के अनुप्रयोग", सिखाता है कि वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और सरल रेखाओं जैसे वक्रों से घिरे क्षेत्रों का क्षेत्रफल निश्चित समाकलों द्वारा कैसे ज्ञात किया जाता है — प्रारंभिक ज्यामिति के क्षेत्रफल सूत्रों से आगे जाकर।

• 1वक्र y = f(x) और x-अक्ष के बीच x = a से x = b तक का क्षेत्रफल A = ∫ₐᵇ f(x) dx है, जिसमें dx चौड़ाई की उर्ध्वाधर पट्टियों का उपयोग होता है।
• 2x = g(y), y-अक्ष और रेखाओं y = c तथा y = d से घिरा क्षेत्रफल A = ∫꜀ᵈ g(y) dy है, जिसमें क्षैतिज पट्टियों का उपयोग होता है।
• 3यदि वक्र x-अक्ष के नीचे हो, तो क्षेत्रफल निश्चित समाकल के निरपेक्ष मान के रूप में लिया जाता है, क्योंकि f(x) < 0 होने पर परिणाम ऋणात्मक आता है।
• 4वृत्त x² + y² = a² से घिरा क्षेत्रफल πa² है, जो एक चतुर्थांश में समाकलन करके 4 से गुणा करने पर प्राप्त होता है।
• 5दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 से घिरा क्षेत्रफल πab है, जो दीर्घवृत्त की सममिति का उपयोग करके इसी प्रकार प्राप्त किया जाता है।

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 9, "अवकल समीकरण", प्रथम कोटि की अवकल समीकरणों को बनाने और हल करने की तीन विधियाँ सिखाता है: चर पृथक्करणीय, समघात और रैखिक अवकल समीकरण।

• 1अवकल समीकरण की कोटि उसमें उपस्थित आश्रित चर के सर्वोच्च अवकल की कोटि होती है; कोटि और घात सदैव धनात्मक पूर्णांक होते हैं जब परिभाषित हों।
• 2घात सर्वोच्च कोटि के अवकल की सर्वोच्च घात है, किंतु केवल तब जब समीकरण अपने अवकलों में बहुपद हो; y′′′ + y² + e^(y′) = 0 जैसी समीकरणों की घात अपरिभाषित होती है।
• 3व्यापक हल में समीकरण की कोटि के बराबर स्वेच्छ अचर होते हैं; उन अचरों को विशिष्ट मान देने पर विशिष्ट हल प्राप्त होता है।
• 4चर पृथक्करण विधि में dy/dx = h(y)·g(x) को (1/h(y))dy = g(x)dx के रूप में लिखकर दोनों पक्षों का स्वतंत्र रूप से समाकलन किया जाता है।
• 5समघात अवकल समीकरण में F(x,y) शून्य घात का समघात फलन होता है; इसे y = vx (या x = vy) प्रतिस्थापित करके चर पृथक्करणीय रूप में बदला जाता है।

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 10, "सदिश बीजगणित", अदिश और सदिश राशियों, सदिशों के प्रकार, सदिश योग के नियमों, अदिश (बिंदु) गुणनफल और सदिश (सरेख) गुणनफल को उनके ज्यामितीय और बीजगणितीय गुणों सहित प्रस्तुत करता है।

• 1सदिश एक दिशित रेखाखंड है जिसका परिमाण और दिशा दोनों होते हैं; इसका परिमाण सदैव अऋणात्मक होता है
• 2सदिश योग त्रिभुज नियम (AC = AB + BC) और समतुल्य समांतर चतुर्भुज नियम (विकर्ण दो आसन्न भुजाओं के सदिशों का परिणामी निरूपित करता है) का पालन करता है
• 3दो सदिशों a और b का अदिश (बिंदु) गुणनफल a·b = |a||b|cosθ परिभाषित है; दो अशून्य सदिश लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका बिंदु गुणनफल शून्य हो
• 4घटक रूप में बिंदु गुणनफल a1b1 + a2b2 + a3b3 है, और सरेख गुणनफल 3×3 सारणिक से परिकलित होता है जिसमें प्रथम पंक्ति में मात्रक सदिश i, j, k हैं
• 5सरेख गुणनफल a×b परिमाण |a||b|sinθ वाला a और b दोनों के लंबवत सदिश देता है; यह क्रमविनिमेय नहीं है (b×a = −a×b)

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 11, "त्रि-विमीय ज्यामिति", रेखाओं के दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात, रेखाओं और तलों के सदिश तथा कार्तीय समीकरण, दो रेखाओं के बीच का कोण, और विषमतलीय तथा समांतर रेखाओं के बीच लघुतम दूरी सदिश बीजगणित द्वारा सिखाता है।

• 1किसी रेखा के दिक्-कोसाइन l, m, n संतुष्ट करते हैं l² + m² + n² = 1; दिक्-अनुपात a, b, c कोई भी संख्याएँ हैं जो l, m, n के समानुपाती हों
• 2P(x₁,y₁,z₁) और Q(x₂,y₂,z₂) को जोड़ने वाली रेखा के दिक्-कोसाइन (x₂−x₁)/PQ, (y₂−y₁)/PQ, (z₂−z₁)/PQ हैं, जहाँ PQ, P और Q के बीच की दूरी है
• 3स्थिति सदिश a वाले बिंदु से गुजरने वाली और सदिश b के समांतर रेखा का सदिश समीकरण r = a + λb है; कार्तीय रूप (x−x₁)/a = (y−y₁)/b = (z−z₁)/c है
• 4दिक्-अनुपात a₁,b₁,c₁ और a₂,b₂,c₂ वाली दो रेखाएँ लंबवत हैं यदि a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂ = 0, और समांतर हैं यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
• 5विषमतलीय रेखाएँ वे रेखाएँ हैं जो न समांतर हों और न प्रतिच्छेद करें; उनके बीच की लघुतम दूरी दोनों के लंबवत रेखा के अनुदिश होती है

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 12, "रैखिक प्रोग्रामन", सिखाता है कि रैखिक बाधाओं के अधीन एक रैखिक उद्देश्य फलन का इष्टतम (अधिकतम या न्यूनतम) मान कैसे ज्ञात किया जाए — इसे कोने बिंदु विधि (Corner Point Method) से आलेखीय रूप में हल किया जाता है।

• 1रैखिक प्रोग्रामन समस्या में रैखिक बाधाओं और अऋणात्मक प्रतिबंधों के अधीन रैखिक उद्देश्य फलन Z = ax + by का इष्टतम मान (अधिकतम या न्यूनतम) ज्ञात किया जाता है।
• 2सुसंगत क्षेत्र वह उभयनिष्ठ क्षेत्र है जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है; यह सदैव एक उत्तल क्षेत्र होता है और इसका प्रत्येक बिंदु एक सुसंगत हल है।
• 3प्रमेय 1 के अनुसार उद्देश्य फलन का इष्टतम मान सुसंगत क्षेत्र के किसी कोने बिंदु (शीर्ष) पर होना चाहिए।
• 4प्रमेय 2 के अनुसार यदि सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध हो, तो उद्देश्य फलन का अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान किसी न किसी कोने बिंदु पर प्राप्त होते हैं।
• 5कोने बिंदु विधि में सुसंगत क्षेत्र के सभी शीर्षों को ज्ञात किया जाता है, प्रत्येक पर Z का मान परिकलित किया जाता है, और सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान चुना जाता है; यदि दो कोने बिंदुओं पर समान इष्टतम मान मिले, तो उन्हें जोड़ने वाले रेखाखंड का प्रत्येक बिंदु भी इष्टतम है।

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 13, "प्रायिकता", सप्रतिबंध प्रायिकता, गुणन नियम, स्वतंत्र घटनाएँ, बेज़ प्रमेय और पूर्ण प्रायिकता प्रमेय को सम्मिलित करता है — A.N. कोल्मोगोरव (1903–1987) द्वारा प्रस्तुत स्वयंसिद्धात्मक दृष्टिकोण के आधार पर।

• 1सप्रतिबंध प्रायिकता P(E|F) = P(E∩F)/P(F) परिभाषित है जब P(F) ≠ 0; यह प्रभावी प्रतिदर्श समष्टि को F के अनुकूल परिणामों तक सीमित कर देती है।
• 2गुणन नियम P(E∩F) = P(E)·P(F|E) = P(F)·P(E|F) कहता है; यह तीन या अधिक घटनाओं तक विस्तृत होता है।
• 3दो घटनाएँ E और F स्वतंत्र हैं यदि P(E∩F) = P(E)·P(F); अशून्य प्रायिकता वाली स्वतंत्र घटनाएँ परस्पर अपवर्जी नहीं हो सकतीं।
• 4पूर्ण प्रायिकता प्रमेय कहता है कि प्रतिदर्श समष्टि S के विभाजन {E1, E2, …, En} के लिए P(A) = Σ P(Ej)·P(A|Ej)।
• 5बेज़ प्रमेय P(Ei|A) = P(Ei)·P(A|Ei) / Σ P(Ej)·P(A|Ej) देता है, जो पूर्व-प्रायिकता और संभावना से व्युत्क्रम (उत्तर) प्रायिकताओं का परिकलन करता है।