अध्याय 12: रैखिक प्रोग्रामन
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कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 12, "रैखिक प्रोग्रामन", सिखाता है कि रैखिक बाधाओं के अधीन एक रैखिक उद्देश्य फलन का इष्टतम (अधिकतम या न्यूनतम) मान कैसे ज्ञात किया जाए — इसे कोने बिंदु विधि (Corner Point Method) से आलेखीय रूप में हल किया जाता है।
- वास्तविक समस्याओं को इष्टतमीकरण में बदलना — अध्याय दर्शाता है कि लाभ को अधिकतम करना या लागत को न्यूनतम करना जैसे दैनिक लक्ष्य किस प्रकार रैखिक बाधाओं से आबद्ध एक रैखिक उद्देश्य फलन बन जाते हैं, और विद्यार्थियों को एक शब्द-समस्या को अऋणात्मक प्रतिबंधों वाले एक सटीक गणितीय रैखिक कार्यक्रम में अनुवाद करना सिखाता है।
- सुसंगत क्षेत्र — सभी बाधाएँ मिलकर एक सुसंगत क्षेत्र बनाती हैं — एक उत्तल क्षेत्र जिसका प्रत्येक बिंदु एक वैध हल है। इसके आकार और यह समझना कि यह परिबद्ध है या अपरिबद्ध, यह तय करता है कि कोई इष्टतम हल अस्तित्व में है भी या नहीं।
- कोने बिंदु विधि — मुख्य प्रमेय गारंटी देते हैं कि सर्वोत्तम मान सुसंगत क्षेत्र के किसी शीर्ष पर होगा, अतः उद्देश्य फलन का मान केवल कोने बिंदुओं पर ज्ञात करना पर्याप्त है। अध्याय अपरिबद्ध क्षेत्रों पर भी ध्यान दिलाता है, जहाँ अधिकतम या न्यूनतम का अस्तित्व नहीं भी हो सकता।
मुख्य बिंदु और सूत्र
- 01रैखिक प्रोग्रामन समस्या में रैखिक बाधाओं और अऋणात्मक प्रतिबंधों के अधीन रैखिक उद्देश्य फलन Z = ax + by का इष्टतम मान (अधिकतम या न्यूनतम) ज्ञात किया जाता है।
- 02सुसंगत क्षेत्र वह उभयनिष्ठ क्षेत्र है जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है; यह सदैव एक उत्तल क्षेत्र होता है और इसका प्रत्येक बिंदु एक सुसंगत हल है।
- 03प्रमेय 1 के अनुसार उद्देश्य फलन का इष्टतम मान सुसंगत क्षेत्र के किसी कोने बिंदु (शीर्ष) पर होना चाहिए।
- 04प्रमेय 2 के अनुसार यदि सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध हो, तो उद्देश्य फलन का अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान किसी न किसी कोने बिंदु पर प्राप्त होते हैं।
- 05कोने बिंदु विधि में सुसंगत क्षेत्र के सभी शीर्षों को ज्ञात किया जाता है, प्रत्येक पर Z का मान परिकलित किया जाता है, और सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान चुना जाता है; यदि दो कोने बिंदुओं पर समान इष्टतम मान मिले, तो उन्हें जोड़ने वाले रेखाखंड का प्रत्येक बिंदु भी इष्टतम है।
- 06यदि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध हो, तो अधिकतम या न्यूनतम का अस्तित्व नहीं भी हो सकता; यह जाँचना आवश्यक है कि प्रत्याशित मान से आगे का खुला अर्ध-तल सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई बिंदु साझा करता है या नहीं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
01रैखिक प्रोग्रामन में कोने बिंदु विधि क्या है?
कोने बिंदु विधि में तीन चरण हैं: (1) सुसंगत क्षेत्र का आलेख बनाएँ और सभी कोने बिंदु (शीर्ष) ज्ञात करें; (2) प्रत्येक कोने बिंदु पर उद्देश्य फलन Z = ax + by का मान परिकलित करें; (3) परिबद्ध क्षेत्र में सबसे बड़ा मान अधिकतम और सबसे छोटा न्यूनतम होता है। अपरिबद्ध क्षेत्र के लिए यह पुष्टि करना आवश्यक है कि प्रत्याशित मान वास्तव में इष्टतम है।
02सुसंगत हल और इष्टतम हल में क्या अंतर है?
सुसंगत हल सुसंगत क्षेत्र के भीतर या उसकी सीमा पर कोई भी ऐसा बिंदु है जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करे। इष्टतम हल वह विशिष्ट सुसंगत बिंदु है जो उद्देश्य फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान देता है। प्रत्येक इष्टतम हल सुसंगत होता है, किंतु प्रत्येक सुसंगत हल इष्टतम नहीं होता।
03क्या किसी रैखिक प्रोग्रामन समस्या के एकाधिक इष्टतम हल हो सकते हैं?
हाँ। यदि दो कोने बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का समान अधिकतम (या न्यूनतम) मान मिले, तो उन दोनों कोने बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का प्रत्येक बिंदु भी वही इष्टतम मान देता है। उदाहरण के लिए, अध्याय के उदाहरण 3 में C (15, 15) और D (0, 20) दोनों पर Z = 180 है, अतः पूरा रेखाखंड CD अधिकतम देता है।
04क्या एनसीईआरटी कक्षा 12 गणित अध्याय 12 की PDF निःशुल्क डाउनलोड की जा सकती है?
हाँ, एनसीईआरटी कक्षा 12 गणित भाग II अध्याय 12 (रैखिक प्रोग्रामन) की PDF ncerthindi.com पर पूरी तरह निःशुल्क डाउनलोड की जा सकती है।
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