सारांश
कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 1, "संबंध एवं फलन", संबंधों के प्रकार (स्वतुल्य, सममित, संक्रामक, तुल्यता), फलनों के प्रकार (एकैकी, आच्छादक, एकैकी-आच्छादक), फलनों का संघटन तथा प्रतिलोम फलन का विस्तृत अध्ययन प्रस्तुत करता है।
- किसी समुच्चय पर संबंधों का वर्गीकरण — अध्याय यह दर्शाता है कि किसी समुच्चय के अवयवों को किस प्रकार युग्मित किया जा सकता है — रिक्त एवं सार्वत्रिक संबंधों से आरंभ कर स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक संबंधों तक। जब कोई संबंध तीनों गुणधर्मों को एक साथ रखता है (तुल्यता संबंध), तो वह समुच्चय को परस्पर अखंडित वर्गों में विभाजित कर देता है।
- फलन किस प्रकार एक समुच्चय से दूसरे में प्रतिचित्रण करता है — फलनों का अध्ययन इस दृष्टि से किया जाता है कि वे अपने सह-प्रांत को किस प्रकार आच्छादित करते हैं: एकैकी (आच्छादक नहीं) फलन कभी किसी निर्गत को दोहराते नहीं; आच्छादक फलन प्रत्येक निर्गत तक पहुँचते हैं; और एकैकी-आच्छादक फलन दोनों गुण एक साथ रखते हैं — यही दृष्टिकोण बाद में यह तय करता है कि किन फलनों का प्रतिलोम संभव है।
- फलनों का निर्माण और प्रतिलोम — दो फलनों को इस प्रकार श्रृंखलाबद्ध किया जा सकता है कि पहले फलन का निर्गत दूसरे का निवेश बने (संघटन) — यह क्रिया सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होती। अध्याय यह भी स्पष्ट करता है कि किसी फलन का प्रतिलोम तभी संभव है जब वह एकैकी-आच्छादक हो।
मुख्य बिंदु और सूत्र
- 01समुच्चय A में संबंध R स्वतुल्य है यदि प्रत्येक a ∈ A के लिए (a, a) ∈ R; सममित है यदि (a, b) ∈ R से (b, a) ∈ R; तथा संक्रामक है यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R से (a, c) ∈ R।
- 02तुल्यता संबंध वह है जो एक साथ स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हो; यह समुच्चय को परस्पर अखंडित तुल्यता वर्गों में विभाजित करता है।
- 03फलन f : X → Y एकैकी (आच्छादक) है यदि f(x₁) = f(x₂) से x₁ = x₂; तथा आच्छादक है यदि Y का प्रत्येक अवयव किसी X के अवयव का प्रतिबिंब हो।
- 04एकैकी-आच्छादक फलन एकैकी और आच्छादक दोनों होता है; परिमित समुच्चय X के लिए f : X → X एकैकी होगा यदि और केवल यदि वह आच्छादक हो — यह गुण अनंत समुच्चयों के लिए सत्य नहीं है।
- 05फलनों f : A → B तथा g : B → C का संघटन gof इस प्रकार परिभाषित है: gof(x) = g(f(x)); संघटन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता (gof ≠ fog)।
- 06फलन f : X → Y प्रतिलोमीय है यदि और केवल यदि वह एकैकी-आच्छादक हो; इसका प्रतिलोम g इस प्रकार है कि gof = I_X और fog = I_Y।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
01कक्षा 12 गणित अध्याय 1 में तुल्यता संबंध क्या है?
समुच्चय A में तुल्यता संबंध R वह संबंध है जो स्वतुल्य (सभी a ∈ A के लिए (a, a) ∈ R), सममित ((a, b) ∈ R से (b, a) ∈ R) और संक्रामक ((a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R से (a, c) ∈ R) हो। ऐसा संबंध समुच्चय को परस्पर अखंडित उपसमुच्चयों में विभाजित करता है, जिन्हें तुल्यता वर्ग कहते हैं।
02एकैकी फलन और आच्छादक फलन में क्या अंतर है?
एकैकी (आच्छादक नहीं) फलन f : X → Y, X के भिन्न अवयवों को Y के भिन्न अवयवों में भेजता है — अर्थात् f(x₁) = f(x₂) से x₁ = x₂। आच्छादक फलन यह सुनिश्चित करता है कि Y का प्रत्येक अवयव X के कम-से-कम एक अवयव का प्रतिबिंब हो, अर्थात् f का परिसर Y के बराबर हो। जो फलन एकैकी और आच्छादक दोनों हो, वह एकैकी-आच्छादक कहलाता है।
03एनसीईआरटी कक्षा 12 अध्याय 1 के अनुसार फलन कब प्रतिलोमीय होता है?
फलन f : X → Y प्रतिलोमीय है यदि कोई फलन g : Y → X ऐसा मौजूद हो कि gof = I_X और fog = I_Y। अध्याय यह सिद्ध करता है कि f प्रतिलोमीय है यदि और केवल यदि वह एकैकी-आच्छादक हो। प्रतिलोम फलन को f⁻¹ से दर्शाते हैं।
04क्या एनसीईआरटी कक्षा 12 गणित अध्याय 1 का पीडीएफ मुफ्त में डाउनलोड होता है?
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