अध्याय 6: अवकलज के अनुप्रयोग
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कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 6, "अवकलज के अनुप्रयोग", अवकलज का उपयोग परिवर्तन की दर ज्ञात करने, फलनों के वर्धमान या ह्रासमान अंतरालों को निर्धारित करने तथा प्रथम व द्वितीय अवकलज परीक्षण द्वारा उच्चिष्ठ एवं निम्निष्ठ मान ज्ञात करने में सिखाता है।
- अवकलज — परिवर्तन की दर के रूप में — अध्याय अवकलज को वास्तविक-जगत की दर के रूप में पुनः परिभाषित करता है — एक राशि दूसरी के सापेक्ष कितनी तेज़ी से बदलती है — और श्रृंखला नियम से एक उभयनिष्ठ चर के माध्यम से दरों को जोड़ता है, जिससे विज्ञान, अर्थशास्त्र और इंजीनियरिंग की समस्याओं से कलन का संपर्क स्थापित होता है।
- फलन कहाँ बढ़ता और घटता है — f'(x) का चिह्न पढ़कर छात्र उन अंतरालों का मानचित्र बना सकते हैं जहाँ फलन वर्धमान या ह्रासमान है, और उन क्रांतिक बिंदुओं को चिह्नित कर सकते हैं जहाँ व्यवहार बदल सकता है — ये शीर्षों और गर्तों के स्वाभाविक उम्मीदवार हैं।
- उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ ज्ञात करना — दो पूरक परीक्षण — f' का चिह्न बदलना देखना और f'' का चिह्न जाँचना — क्रांतिक बिंदुओं को स्थानीय उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या नतिपरिवर्तन बिंदु के रूप में वर्गीकृत करते हैं। एक कार्यात्मक नियम इसे बंद अंतरालों तक विस्तारित करता है, जहाँ क्रांतिक बिंदुओं और अंत्य बिंदुओं पर मानों की तुलना की जाती है।
मुख्य बिंदु और सूत्र
- 01अवकलज dy/dx, y के x के सापेक्ष परिवर्तन की दर को प्रदर्शित करता है; श्रृंखला नियम किसी मध्यवर्ती चर t के माध्यम से परिवर्तन की दरों को जोड़ता है।
- 02फलन f, (a, b) पर वर्धमान है यदि (a, b) के प्रत्येक x के लिए f'(x) > 0, और ह्रासमान है यदि f'(x) < 0।
- 03क्रांतिक बिंदु वह बिंदु c है जहाँ f'(c) = 0 हो या f अवकलनीय न हो; क्रांतिक बिंदु स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ के प्रत्याशी होते हैं।
- 04प्रथम अवकलज परीक्षण: यदि f'(x) का चिह्न c पर धन से ऋण होता है तो c स्थानीय उच्चिष्ठ है; ऋण से धन होता है तो c स्थानीय निम्निष्ठ है; चिह्न नहीं बदलता तो c नतिपरिवर्तन बिंदु है।
- 05द्वितीय अवकलज परीक्षण: यदि f'(c) = 0 और f''(c) < 0 तो c स्थानीय उच्चिष्ठ है; f''(c) > 0 तो c स्थानीय निम्निष्ठ है; f''(c) = 0 तो परीक्षण विफल होता है और प्रथम अवकलज परीक्षण प्रयुक्त करना होगा।
- 06बंद अंतराल [a, b] पर परम उच्चिष्ठ एवं परम निम्निष्ठ ज्ञात करने के लिए अंतराल के भीतर सभी क्रांतिक बिंदुओं और अंत्य बिंदुओं पर f का मान ज्ञात करके तुलना करें।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
01क्या एनसीईआरटी कक्षा 12 गणित अध्याय 6 का पीडीएफ मुफ्त में डाउनलोड होता है?
हाँ, ncerthindi.com पर एनसीईआरटी कक्षा 12 गणित अध्याय 6 का पीडीएफ बिल्कुल मुफ्त डाउनलोड किया जा सकता है।
02एनसीईआरटी कक्षा 12 गणित अध्याय 6 के अनुसार क्रांतिक बिंदु क्या है?
फलन f का क्रांतिक बिंदु उसके प्रांत में वह बिंदु c है जहाँ या तो f'(c) = 0 हो या f वहाँ अवकलनीय न हो। क्रांतिक बिंदु स्थानीय उच्चिष्ठ या स्थानीय निम्निष्ठ के प्रत्याशी होते हैं, किंतु अवकलज का शून्य होना न तो उच्चिष्ठ की गारंटी देता है न निम्निष्ठ की — जैसा कि x = 0 पर f(x) = x³ से स्पष्ट है।
03द्वितीय अवकलज परीक्षण से स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ कैसे निर्धारित करते हैं?
यदि f'(c) = 0 और f''(c) < 0 तो c स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है। यदि f'(c) = 0 और f''(c) > 0 तो c स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है। यदि f'(c) = 0 और f''(c) = 0 दोनों हों तो परीक्षण विफल होता है और प्रथम अवकलज परीक्षण पर लौटना होगा।
04अध्याय 6 में सीमांत लागत क्या है और इसकी गणना कैसे करते हैं?
सीमांत लागत कुल लागत C(x) का उत्पादन x के सापेक्ष तात्क्षणिक परिवर्तन की दर है, जिसे dC/dx से परिकलित करते हैं। उदाहरण के लिए यदि C(x) = 0.005x³ - 0.02x² + 30x + 5000, तो MC = dC/dx = 0.015x² - 0.04x + 30, जिससे x = 3 इकाई पर MC ≈ 30.015 प्राप्त होती है।
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