अध्याय 10: सदिश बीजगणित

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 10, "सदिश बीजगणित", अदिश और सदिश राशियों, सदिशों के प्रकार, सदिश योग के नियमों, अदिश (बिंदु) गुणनफल और सदिश (सरेख) गुणनफल को उनके ज्यामितीय और बीजगणितीय गुणों सहित प्रस्तुत करता है।

• अदिश और सदिश राशियाँ — अध्याय उन राशियों में मुख्य अंतर स्पष्ट करता है जिन्हें केवल परिमाण की आवश्यकता है (चाल, द्रव्यमान) और जिन्हें दिशा भी चाहिए (विस्थापन, बल)। फिर सदिशों को वर्गीकृत किया जाता है — शून्य, मात्रक, संरेखीय, समान — और उन्हें स्थिति सदिशों व दिक्-कोसाइनों द्वारा निरूपित किया जाता है।
• सदिशों का योग और अदिश गुणन — सदिश त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा ज्यामितीय रूप से और घटक-रूप में बीजगणितीय रूप से संयुक्त होते हैं। अदिश गुणन उन्हें बड़ा या उलटा करता है, और अनुभाग सूत्र रेखाखंड को विभाजित करने वाले बिंदुओं की स्थिति बताता है — यह आगे के गुणनफलों की नींव रखता है।
• दो प्रकार के सदिश गुणनफल — बिंदु गुणनफल दो सदिशों के संरेखण को मापता है और लंबवत सदिशों की पहचान करता है, जबकि सरेख गुणनफल से दोनों के लंबवत एक नया सदिश मिलता है। इनकी ज्यामिति से त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल सीधे प्राप्त होते हैं।

1. 01सदिश एक दिशित रेखाखंड है जिसका परिमाण और दिशा दोनों होते हैं; इसका परिमाण सदैव अऋणात्मक होता है
2. 02सदिश योग त्रिभुज नियम (AC = AB + BC) और समतुल्य समांतर चतुर्भुज नियम (विकर्ण दो आसन्न भुजाओं के सदिशों का परिणामी निरूपित करता है) का पालन करता है
3. 03दो सदिशों a और b का अदिश (बिंदु) गुणनफल a·b = |a||b|cosθ परिभाषित है; दो अशून्य सदिश लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका बिंदु गुणनफल शून्य हो
4. 04घटक रूप में बिंदु गुणनफल a1b1 + a2b2 + a3b3 है, और सरेख गुणनफल 3×3 सारणिक से परिकलित होता है जिसमें प्रथम पंक्ति में मात्रक सदिश i, j, k हैं
5. 05सरेख गुणनफल a×b परिमाण |a||b|sinθ वाला a और b दोनों के लंबवत सदिश देता है; यह क्रमविनिमेय नहीं है (b×a = −a×b)
6. 06सदिशों a और b से निरूपित आसन्न भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल (1/2)|a×b| है, और समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल |a×b| है