अध्याय 8: समाकलनों के अनुप्रयोग

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 8, "समाकलनों के अनुप्रयोग", सिखाता है कि वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और सरल रेखाओं जैसे वक्रों से घिरे क्षेत्रों का क्षेत्रफल निश्चित समाकलों द्वारा कैसे ज्ञात किया जाता है — प्रारंभिक ज्यामिति के क्षेत्रफल सूत्रों से आगे जाकर।

• संचित पट्टियों के रूप में क्षेत्रफल — अध्याय का केंद्रीय विचार यह है कि अनंत पतली पट्टियों को जोड़कर क्षेत्रफल प्राप्त किया जाए: उर्ध्वाधर पट्टियों के लिए ∫y dx और क्षैतिज पट्टियों के लिए ∫x dy। इससे ऐसे क्षेत्रों का क्षेत्रफल मापा जा सकता है जिनके लिए कोई सरल ज्यामितीय सूत्र नहीं है।
• x-अक्ष के ऊपर और नीचे के वक्र — जब कोई वक्र x-अक्ष के नीचे जाता है, तो उसका समाकल ऋणात्मक हो जाता है; इसलिए अध्याय में क्षेत्रफल को धनात्मक रखने के लिए निरपेक्ष मान का उपयोग किया जाता है — आवश्यकतानुसार क्षेत्र को भागों में बाँटकर, जैसे y = cos x का एक पूर्ण आवर्तकाल में क्षेत्रफल।
• क्लासिक क्षेत्रफल सूत्रों की पुनः व्युत्पत्ति — मानक वक्रों का समाकलन करके अध्याय परिचित परिणामों को पुनः सिद्ध करता है — वृत्त का πa² और दीर्घवृत्त का πab — एक चतुर्थांश में समाकलन करके और सममिति का उपयोग करते हुए, जो दर्शाता है कि ज्यामितीय सूत्रों का आधार कलन है।

1. 01वक्र y = f(x) और x-अक्ष के बीच x = a से x = b तक का क्षेत्रफल A = ∫ₐᵇ f(x) dx है, जिसमें dx चौड़ाई की उर्ध्वाधर पट्टियों का उपयोग होता है।
2. 02x = g(y), y-अक्ष और रेखाओं y = c तथा y = d से घिरा क्षेत्रफल A = ∫꜀ᵈ g(y) dy है, जिसमें क्षैतिज पट्टियों का उपयोग होता है।
3. 03यदि वक्र x-अक्ष के नीचे हो, तो क्षेत्रफल निश्चित समाकल के निरपेक्ष मान के रूप में लिया जाता है, क्योंकि f(x) < 0 होने पर परिणाम ऋणात्मक आता है।
4. 04वृत्त x² + y² = a² से घिरा क्षेत्रफल πa² है, जो एक चतुर्थांश में समाकलन करके 4 से गुणा करने पर प्राप्त होता है।
5. 05दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 से घिरा क्षेत्रफल πab है, जो दीर्घवृत्त की सममिति का उपयोग करके इसी प्रकार प्राप्त किया जाता है।
6. 06y = cos x का x = 0 से x = 2π के बीच क्षेत्रफल 4 है, जो x-अक्ष के ऊपर और नीचे के तीन क्षेत्रों के निरपेक्ष क्षेत्रफलों को जोड़कर परिकलित किया जाता है।