अध्याय 7: समाकलन

कक्षा 12 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 7, "समाकलन", समाकलन को अवकलन की व्युत्क्रम प्रक्रिया के रूप में प्रस्तुत करता है — जिसमें अनिश्चित समाकल, मानक सूत्र, प्रतिस्थापन, आंशिक भिन्न और खंडशः समाकलन की विधियाँ, तथा निश्चित समाकल और कलन के मूलभूत प्रमेय सम्मिलित हैं।

• अवकलन के व्युत्क्रम के रूप में समाकलन — अध्याय का मूल विचार यह है कि समाकलन, अवकलन को उलटने की प्रक्रिया है — अर्थात् उस फलन को खोजना जिसका अवकल गुणांक दिया गया फलन हो। चूँकि अनेक फलनों का अवकल गुणांक एक ही हो सकता है, इसलिए अनिश्चित समाकल में सदैव एक स्वेच्छ अचर C जुड़ा रहता है, और मानक सूत्र ज्ञात अवकल नियमों से सीधे प्राप्त होते हैं।
• समाकलन की तीन मुख्य विधियाँ — अधिकांश समाकलों को पहले सरल रूप में लाना पड़ता है। प्रतिस्थापन विधि में नया चर प्रतिस्थापित कर समाकल्य को सरल किया जाता है; आंशिक भिन्न विधि में परिमेय फलनों को सरल खंडों में तोड़ा जाता है; और खंडशः समाकलन विधि से फलनों के गुणनफल के समाकल किए जाते हैं — ये तीनों मिलकर अधिकांश समाकल हल कर देती हैं।
• निश्चित समाकल और उनकी उपयोगिता — प्रतिअवकलजों के परिवार से एक निश्चित संख्यात्मक मान तक पहुँचने के लिए निश्चित समाकल का उपयोग होता है। कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा निश्चित समाकल को अनिश्चित समाकल से जोड़ा जाता है, जिससे यह क्षेत्रफल परिकलन और भौतिकी, अर्थशास्त्र तथा प्रायिकता की समस्याओं के लिए एक व्यावहारिक उपकरण बन जाता है।

1. 01समाकलन, अवकलन की व्युत्क्रम प्रक्रिया है; f(x) का प्रतिअवकलज F(x) होता है जिसके लिए F′(x) = f(x), और सामान्य अनिश्चित समाकल F(x) + C के रूप में लिखा जाता है, जहाँ C स्वेच्छ अचर है।
2. 02मानक समाकल सूत्र सीधे अवकलन नियमों से प्राप्त होते हैं — उदाहरणतः ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ −1), ∫cos x dx = sin x + C, तथा ∫(1/x) dx = log|x| + C।
3. 03प्रतिस्थापन विधि में x = g(t) रखने पर ∫f(x)dx, ∫f(g(t))g′(t)dt में बदल जाता है; इससे प्राप्त मुख्य परिणामों में ∫tan x dx = log|sec x| + C और ∫sec x dx = log|sec x + tan x| + C सम्मिलित हैं।
4. 04आंशिक भिन्न विधि में एक उचित परिमेय फलन P(x)/Q(x) को सरल भिन्नों के योग में विभाजित किया जाता है जिनके समाकल मानक हैं; इसमें रैखिक, पुनरावृत्त रैखिक और अखंडनीय द्विघाती गुणनखंडों सहित पाँच मानक रूप आते हैं।
5. 05खंडशः समाकलन सूत्र ∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx − ∫[f′(x)∫g(x)dx]dx का उपयोग करता है; एक विशेष स्थिति से ∫e^x[f(x) + f′(x)]dx = e^x f(x) + C प्राप्त होता है।
6. 06कलन का मूलभूत प्रमेय अनिश्चित और निश्चित समाकल को जोड़ता है, जिससे निश्चित समाकल क्षेत्रफल परिकलन और अर्थशास्त्र, भौतिकी तथा प्रायिकता की समस्याओं के लिए उपयोगी बनता है।