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अवलोकन

सारांश

कक्षा 6 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक (गणित प्रकाश) का अध्याय 1, "गणित में पैटर्न", पैटर्नों की खोज और उनके अस्तित्व के कारणों के स्पष्टीकरण के रूप में गणित का परिचय देता है — जिसमें त्रिभुजाकार, वर्ग, घन, विरहांक संख्याएँ और 2 तथा 3 की घातें जैसे दस संख्या अनुक्रम, तथा सम बहुभुज, संपूर्ण ग्राफ और कोच हिमकण जैसे आकार अनुक्रम शामिल हैं।

  • गणित — पैटर्नों की खोज और विज्ञान — गणित, पैटर्नों की खोज तथा उनके अस्तित्व के कारणों का स्पष्टीकरण है। पैटर्न प्रकृति, घरों, विद्यालयों और खगोलीय पिंडों की गति में दिखाई देते हैं। इसीलिए गणितज्ञ गणित को कला और विज्ञान दोनों मानते हैं। संख्या सिद्धांत पूर्ण संख्याओं के पैटर्नों का अध्ययन करता है।
  • संख्या अनुक्रम और उनके बीच के संबंध — सारणी 1 में दस प्रमुख अनुक्रम हैं — गणन, विषम, सम, त्रिभुजाकार, वर्ग, घन, विरहांक, 2 की घातें और 3 की घातें। पहले n विषम संख्याओं का योग n² होता है, और दो क्रमागत त्रिभुजाकार संख्याओं का योग एक वर्ग संख्या बनाता है।
  • आकार अनुक्रम और संख्या पैटर्न — सम बहुभुजों, संपूर्ण ग्राफों (K2, K3, K4...), ढेरित त्रिभुजों और कोच हिमकण जैसे आकार अनुक्रम अपने स्वयं के संख्या पैटर्न उत्पन्न करते हैं। उदाहरण के लिए, संपूर्ण ग्राफों की रेखाओं की संख्या त्रिभुजाकार संख्या अनुक्रम का अनुसरण करती है।
मुख्य बातें

मुख्य बिंदु और सूत्र

  1. 01गणित, पैटर्नों की खोज तथा उनके अस्तित्व के कारणों के स्पष्टीकरण की खोज है; गणितज्ञ इसे कला और विज्ञान दोनों के रूप में देखते हैं।
  2. 02संख्या सिद्धांत वह शाखा है जिसमें पूर्ण संख्याओं के पैटर्नों का अध्ययन किया जाता है; ज्यामिति आकारों के पैटर्नों का अध्ययन करती है।
  3. 03सारणी 1 में 10 संख्या अनुक्रम हैं: सभी '1', गणन संख्याएँ, विषम संख्याएँ, सम संख्याएँ, त्रिभुजाकार संख्याएँ, वर्ग संख्याएँ, घन संख्याएँ, विरहांक संख्याएँ, 2 की घातें, 3 की घातें।
  4. 04त्रिभुजाकार संख्याएँ (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...) क्रमागत गणन संख्याओं के योग से बनती हैं।
  5. 05पहले n विषम संख्याओं का योग सदैव n² होता है — उदाहरण: 1+3+5+7+9+11=36=6²।
  6. 06ऊपर और नीचे गणन संख्याओं का योग (1+2+1, 1+2+3+2+1, ...) भी वर्ग संख्याएँ देता है।
  7. 07दो क्रमागत त्रिभुजाकार संख्याओं का योग (1+3, 3+6, 6+10, ...) एक वर्ग संख्या देता है।
  8. 08षट्भुजाकार संख्याओं के संचयी योग (1, 1+7, 1+7+19, ...) घन संख्याएँ देते हैं: 1, 8, 27, 64, ...।
  9. 09संख्या 36 एक साथ त्रिभुजाकार (8वीं) और वर्ग संख्या (6²) दोनों है — एक संख्या अनेक अनुक्रमों में हो सकती है।
  10. 10कोच हिमकण में रेखाखंडों की संख्या 3 × 4 की घातें होती हैं: 3, 12, 48, 192, ... — एक आकार अनुक्रम जो संख्या पैटर्न से जुड़ा है।
प्रश्न

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

01

कक्षा 6 गणित प्रकाश का अध्याय 1 किस बारे में है?

अध्याय 1 'गणित में पैटर्न' यह बताता है कि गणित पैटर्नों की खोज और उनके कारणों का स्पष्टीकरण है। इसमें दस संख्या अनुक्रम (त्रिभुजाकार, वर्ग, घन, विरहांक, 2 और 3 की घातें) और आकार अनुक्रम (सम बहुभुज, संपूर्ण ग्राफ, कोच हिमकण) तथा उनके बीच के संबंधों का अन्वेषण किया जाता है।

02

सारणी 1 में कौन-कौन से 10 संख्या अनुक्रम हैं?

सारणी 1 में ये 10 अनुक्रम हैं: सभी '1' (1,1,1,...), गणन संख्याएँ (1,2,3,...), विषम संख्याएँ (1,3,5,...), सम संख्याएँ (2,4,6,...), त्रिभुजाकार संख्याएँ (1,3,6,10,...), वर्ग संख्याएँ (1,4,9,16,...), घन संख्याएँ (1,8,27,64,...), विरहांक संख्याएँ (1,2,3,5,8,13,...), 2 की घातें (1,2,4,8,...) और 3 की घातें (1,3,9,27,...)।

03

विरहांक संख्याओं का नियम क्या है?

प्रत्येक विरहांक संख्या, उससे पहले की दो संख्याओं का योग होती है: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (अर्थात् 3=1+2, 5=2+3, 8=3+5 आदि)।

04

पहले n विषम संख्याओं का योग n² क्यों होता है?

क्योंकि एक वर्ग बिंदु-जालक को L-आकार की परतों में विभाजित किया जा सकता है जिनमें क्रमशः 1, 3, 5, 7, ... बिंदु होते हैं। इन परतों को जोड़ने पर पूरा वर्ग बनता है। इसीलिए 1+3+5+...+(2n−1) = n² होता है।

05

दो क्रमागत त्रिभुजाकार संख्याओं को जोड़ने पर क्या मिलता है?

वर्ग संख्याएँ। उदाहरण: 1+3=4, 3+6=9, 6+10=16, 10+15=25। किन्हीं भी दो क्रमागत त्रिभुजाकार संख्याओं का योग एक पूर्ण वर्ग होता है।

06

षट्भुजाकार संख्याओं और घन संख्याओं में क्या संबंध है?

षट्भुजाकार संख्याओं के संचयी योग घन संख्याएँ देते हैं: 1=1³, 1+7=8=2³, 1+7+19=27=3³, 1+7+19+37=64=4³। इसके अलावा, प्रत्येक षट्भुजाकार संख्या, एक त्रिभुजाकार संख्या के 6 गुने में 1 जोड़ने पर मिलती है।

07

कोच हिमकण क्या है और यह किस संख्या अनुक्रम से जुड़ा है?

कोच हिमकण एक आकार अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक चरण पर हर रेखाखंड को 'स्पीड बम्प' (4 खंड) से बदला जाता है। कुल रेखाखंडों की संख्या 3, 12, 48, 192, 768, ... होती है — जो 3 × 4 की घातें हैं।

08

कौन-सा आकार अनुक्रम त्रिभुजाकार संख्या अनुक्रम से संबंधित है?

संपूर्ण ग्राफ अनुक्रम (K2, K3, K4, K5, K6)। प्रत्येक संपूर्ण ग्राफ में रेखाओं की संख्या 1, 3, 6, 10, 15 होती है — जो त्रिभुजाकार संख्या अनुक्रम है।

09

36 एक साथ त्रिभुजाकार और वर्ग संख्या कैसे है?

36 आठवीं त्रिभुजाकार संख्या है क्योंकि 1+2+3+4+5+6+7+8=36। यह एक पूर्ण वर्ग भी है क्योंकि 6²=36। इससे सिद्ध होता है कि एक ही संख्या अनेक अनुक्रमों की सदस्य हो सकती है।

10

क्या कक्षा 6 गणित प्रकाश अध्याय 1 की PDF मुफ़्त में और बिना पंजीकरण के डाउनलोड की जा सकती है?

हाँ, एनसीईआरटी गणित प्रकाश अध्याय 1 की PDF इस वेबसाइट पर निःशुल्क उपलब्ध है। इसके लिए किसी खाते या पंजीकरण की आवश्यकता नहीं है।

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