अध्याय 5: समांतर श्रेढ़ियाँ

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 5, "समांतर श्रेढ़ियाँ", संख्याओं की उन सूचियों को समझाता है जिनमें प्रत्येक पद पिछले पद में एक निश्चित सार्व अंतर (d) जोड़ने से प्राप्त होता है; n वाँ पद an = a + (n − 1)d और n पदों का योग Sn = n/2 [2a + (n − 1)d] से दिया जाता है।

• सार्व अंतर की अवधारणा — समांतर श्रेढ़ी में प्रत्येक चरण पर समान निश्चित राशि, अर्थात सार्व अंतर, जोड़ी जाती है। यह अंतर धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है और सभी क्रमागत पदों के बीच स्थिर रहता है।
• किसी भी पद तक सीधे पहुँचना — प्रत्येक पद को सूचीबद्ध करने की बजाय, n वाँ पद सूत्र से आप पहले पद और सार्व अंतर की सहायता से सीधे किसी भी पद का मान ज्ञात कर सकते हैं — बाकी पद लिखे बिना 100वाँ पद खोजने में यह विशेष रूप से उपयोगी है।
• पदों का योग — अध्याय में पहले n पदों को एक साथ जोड़ने का सूत्र निकाला गया है, जिसका एक समतुल्य रूप अंतिम पद का उपयोग करता है। इससे लंबे जोड़ एकल त्वरित गणना में बदल जाते हैं।

1. 01समांतर श्रेढ़ी (A.P.) संख्याओं की वह सूची है जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद में निश्चित सार्व अंतर d जोड़ने से प्राप्त होता है; d धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
2. 02A.P. का सामान्य रूप a, a+d, a+2d, a+3d, … है, जहाँ a प्रथम पद और d सार्व अंतर है।
3. 03A.P. का n वाँ पद (व्यापक पद) an = a + (n−1)d से दिया जाता है; परिमित A.P. के अंतिम पद को कभी-कभी l से दर्शाया जाता है।
4. 04पहले n पदों का योग Sn = n/2 [2a + (n−1)d] है, या समतुल्य रूप से जब अंतिम पद l ज्ञात हो तो Sn = n/2 (a + l) है।
5. 05कोई सूची A.P. है यदि और केवल यदि प्रत्येक क्रमागत पदों का अंतर समान हो, अर्थात सभी k के लिए ak+1 − ak अचर हो।
6. 06n वाँ पद क्रमागत आंशिक योगों के अंतर से भी ज्ञात किया जा सकता है: an = Sn − Sn−1।