अध्याय 4: द्विघात समीकरण

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 4, "द्विघात समीकरण", ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) के रूप के समीकरणों को समझाता है और उनके मूल ज्ञात करने की तीन विधियाँ — गुणनखंडन, पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात सूत्र तक पहुँचना, और मूलों की प्रकृति जाँचने के लिए विविक्तकर — सिखाता है।

• मानक रूप और मूल — द्विघात समीकरण को ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) के रूप में लिखा जाता है और इसके अधिकतम दो मूल हो सकते हैं। ये मूल संगत द्विघात बहुपद के शून्यकों के समान होते हैं।
• हल की विधियाँ — गुणनखंडन विधि में मध्य पद को दो रैखिक गुणनखंडों में विभाजित कर शून्य के बराबर रखा जाता है, जबकि पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से वह सामान्य द्विघात सूत्र प्राप्त होता है जो किसी भी हल योग्य समीकरण पर लागू होता है।
• विविक्तकर का निर्णय — व्यंजक b² − 4ac मूलों की प्रकृति पहले ही बता देता है: धनात्मक होने पर दो अलग-अलग वास्तविक मूल, शून्य होने पर एक आवर्ती मूल, और ऋणात्मक होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं।
• वास्तविक जीवन में मॉडलन — अनेक व्यावहारिक परिस्थितियाँ — हॉल की विमाएँ, रेलगाड़ी की गति, क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल — द्विघात समीकरणों में बदल जाती हैं, जिससे ये हल-विधियाँ व्यापक रूप से उपयोगी हो जाती हैं।

1. 01मानक रूप में द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 है।
2. 02द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल होते हैं; इसके मूल द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यकों के समान होते हैं।
3. 03गुणनखंडन विधि में मध्य पद को विभाजित कर, दो रैखिक गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करके प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखा जाता है।
4. 04द्विघात सूत्र से मूल x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a प्राप्त होते हैं, जो b²−4ac ≥ 0 होने पर मान्य है।
5. 05विविक्तकर (b²−4ac) मूलों की प्रकृति बताता है: >0 होने पर दो अलग-अलग वास्तविक मूल, =0 होने पर दो बराबर वास्तविक मूल, <0 होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं।
6. 06द्विघात समीकरण अनेक वास्तविक जीवन की परिस्थितियों का मॉडल करते हैं जैसे हॉल की विमाएँ, रेलगाड़ी की गति और क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल।