अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
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कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 3, "दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म", छात्रों को ऐसे युग्मों को आलेखीय विधि, प्रतिस्थापन विधि और विलोपन विधि से हल करना सिखाता है, तथा गुणांकों के अनुपातों की तुलना से युग्म को संगत, असंगत या आश्रित के रूप में वर्गीकृत करना बताता है।
- हल का स्वरूप — दो रैखिक समीकरण दो सरल रेखाओं के संगत होते हैं जो एक बिंदु पर मिल सकती हैं, एक-दूसरे पर आरोपित हो सकती हैं, या समांतर चल सकती हैं। ये तीन स्थितियाँ क्रमशः अद्वितीय हल, अनंत हल, या कोई हल नहीं देती हैं।
- हल की तीन विधियाँ — अध्याय में एक आलेखीय विधि और दो बीजगणितीय विधियाँ दी गई हैं: प्रतिस्थापन विधि में एक चर को दूसरे समीकरण की सहायता से व्यक्त करके प्रतिस्थापित किया जाता है, जबकि विलोपन विधि में समीकरणों को उचित गुणांकों से गुणा करके जोड़ने या घटाने पर एक चर समाप्त हो जाता है।
- गुणांक अनुपातों से पूर्वानुमान — गुणांकों के अनुपातों की तुलना करके, हल किए बिना ही परिणाम बताया जा सकता है — युग्म एक हल वाला संगत है, अनंत हलों वाला आश्रित है, या हल-रहित असंगत है।
- शब्द-समस्याओं का मॉडलन — आयु की पहेलियाँ, लागत की तुलना और अंकों से संबंधित समस्याएँ जैसी दैनिक जीवन की परिस्थितियों को समीकरण युग्म में बदलकर इन विधियों से हल किया जा सकता है।
मुख्य बिंदु और सूत्र
- 01रैखिक समीकरण युग्म संगत (कम से कम एक हल) या असंगत (कोई हल नहीं) हो सकता है; आश्रित युग्म सदा संगत होता है और उसके अनंत हल होते हैं।
- 02आलेखीय दृष्टि से, दो रेखाएँ या तो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (अद्वितीय हल), संपाती होती हैं (अनंत हल), या समांतर होती हैं (कोई हल नहीं)।
- 03प्रतिस्थापन विधि में एक चर को दूसरे के पदों में व्यक्त करके दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है।
- 04विलोपन विधि में समीकरणों को उचित अचरों से गुणा किया जाता है ताकि एक चर के गुणांक बराबर हो जाएँ, फिर जोड़ने या घटाने से वह चर समाप्त हो जाता है।
- 05यदि a1/a2 ≠ b1/b2 है, तो युग्म अद्वितीय हल वाला संगत है; यदि a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 है, तो आश्रित (अनंत हल) है; यदि a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 है, तो असंगत (कोई हल नहीं) है।
- 06आयु की पहेलियाँ, लागत संबंधी समस्याएँ और अंक-संबंधी समस्याएँ जैसे वास्तविक जीवन के प्रश्नों को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में निरूपित कर हल किया जा सकता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
01रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल करने पर तीन संभावित परिणाम क्या हैं?
दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं जिससे अद्वितीय हल (संगत युग्म) मिलता है, संपाती हो सकती हैं जिससे अनंत हल (आश्रित एवं संगत युग्म) मिलते हैं, या समांतर हो सकती हैं जिससे कोई हल नहीं (असंगत युग्म) मिलता।
02बिना आलेख बनाए कैसे पता चलेगा कि रैखिक समीकरण युग्म संगत है या असंगत?
गुणांकों के अनुपातों की तुलना करें: यदि a1/a2 ≠ b1/b2 हो, तो युग्म अद्वितीय हल वाला संगत है; यदि a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 हो, तो आश्रित और अनंत हल वाला है; यदि a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 हो, तो असंगत और हल-रहित है।
03प्रतिस्थापन विधि और विलोपन विधि में क्या अंतर है?
प्रतिस्थापन विधि में एक समीकरण से एक चर को दूसरे के पदों में व्यक्त करके दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है। विलोपन विधि में दोनों समीकरणों को उचित अचरों से गुणा किया जाता है ताकि एक चर का गुणांक बराबर हो जाए, फिर समीकरणों को जोड़ने या घटाने से वह चर समाप्त हो जाता है।
04क्या एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 3 की PDF निःशुल्क डाउनलोड की जा सकती है?
हाँ, एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 3 की PDF निःशुल्क डाउनलोड के लिए उपलब्ध है।
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