सारांश
कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 10, "वृत्त", वृत्त की स्पर्श रेखाओं पर केंद्रित है — यह सिद्ध करता है कि किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा, उस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है, तथा किसी बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
- रेखा और वृत्त का मिलन — कोई रेखा वृत्त को बिल्कुल नहीं काट सकती, दो बिंदुओं पर छेदक के रूप में काट सकती है, या ठीक एक बिंदु पर स्पर्श रेखा के रूप में छू सकती है। स्पर्श रेखा वह सीमांत स्थिति है जिसमें छेदक के दोनों प्रतिच्छेद बिंदु एक ही बिंदु पर मिल जाते हैं।
- स्पर्श रेखा और त्रिज्या — जिस बिंदु पर स्पर्श रेखा वृत्त को छूती है, वहाँ वह उस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के सदैव लंबवत होती है। यह समकोण संबंध अधिकांश स्पर्श रेखा समस्याओं का मूल गुण है।
- बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाएँ — वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं और उनकी लंबाइयाँ बराबर होती हैं। वृत्त पर स्थित बिंदु से एक स्पर्श रेखा और वृत्त के भीतर से कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।
मुख्य बिंदु और सूत्र
- 01वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ठीक एक बिंदु पर काटती है, जिसे स्पर्श बिंदु कहते हैं; छेदक दो बिंदुओं पर काटती है।
- 02प्रमेय 10.1: वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, उस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है (OP ⊥ XY)।
- 03प्रमेय 10.2: किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं (PQ = PR)।
- 04वृत्त के भीतर स्थित बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती; वृत्त पर स्थित बिंदु से ठीक एक; तथा बाहरी बिंदु से ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
- 05वृत्त का केंद्र, बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच बने कोण के कोण-अर्द्धक पर स्थित होता है।
- 06स्पर्श रेखा, छेदक की सीमांत स्थिति है — जब छेदक के दोनों प्रतिच्छेद बिंदु एक ही बिंदु पर मिल जाते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
01वृत्त की स्पर्श रेखा और छेदक में क्या अंतर है?
छेदक वह रेखा है जो वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है, जबकि स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूती है, जिसे स्पर्श बिंदु कहते हैं। स्पर्श रेखा मूलतः वह छेदक है जिसके दोनों प्रतिच्छेद बिंदु एक ही बिंदु पर मिल जाते हैं।
02प्रमेय 10.1 (कक्षा 10 वृत्त) क्या कहता है?
प्रमेय 10.1 कहता है कि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है। यह यह दिखाकर सिद्ध किया जाता है कि केंद्र O से स्पर्श रेखा XY तक की न्यूनतम दूरी त्रिज्या OP है, अतः OP, XY पर लंबवत है।
03यदि किसी बाहरी बिंदु Q से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm है और Q की केंद्र से दूरी 25 cm है, तो त्रिज्या क्या होगी?
पाइथागोरस प्रमेय से: त्रिज्या² = OQ² − QT² = 25² − 24² = 625 − 576 = 49, अतः त्रिज्या 7 cm है। यह प्रमेय 10.1 से प्राप्त होता है, क्योंकि स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।
04क्या एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 10 की पीडीएफ निःशुल्क उपलब्ध है?
हाँ, एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 10 की पीडीएफ निःशुल्क डाउनलोड की जा सकती है।
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