अध्याय 12: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 12, "पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन", घनाभ, शंकु, बेलन, गोला और अर्धगोला जैसी मूल आकृतियों को मिलाकर बने ठोसों से संबंधित है और विद्यार्थियों को दृश्यमान भागों से संयुक्त पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा घटक ठोसों का योग करके संयुक्त आयतन ज्ञात करना सिखाता है।

• मूल ठोसों को मिलाना — वास्तविक वस्तुएँ प्रायः सरल ठोसों को जोड़कर बनाई जाती हैं — एक अर्धगोले पर शंकु रखने से खिलौना बनता है, बेलन के साथ दो अर्धगोले मिलाने से तेल-टैंकर। यह अध्याय इन संयुक्त आकृतियों को परिचित भागों के योग के रूप में देखता है।
• पृष्ठीय क्षेत्रफल केवल दिखने वाले भाग की गणना करता है — जब ठोसों को जोड़ा जाता है, तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल केवल उजागर एवं दृश्यमान भागों के वक्र पृष्ठ क्षेत्रफलों का योग होता है — जहाँ टुकड़े आपस में मिलते हैं वे छिपे हुए फलक नहीं गिने जाते।
• आयतन सीधे जुड़ता है — पृष्ठीय क्षेत्रफल के विपरीत, संयुक्त ठोस का आयतन सदैव उसके अलग-अलग आयतनों का सीधा योग होता है। यहाँ तक कि जब किसी आकृति को खोखला किया जाता है, तो उजागर आंतरिक पृष्ठ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में जुड़ जाता है।

1. 01संयुक्त ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल प्रत्येक घटक ठोस के केवल उजागर (दृश्यमान) भागों के वक्र पृष्ठ क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
2. 02संयुक्त ठोस का आयतन सदैव उसके अलग-अलग घटक ठोसों के आयतनों का सीधा योग होता है।
3. 03सामान्य संयुक्त आकृतियों में शामिल हैं: बेलन के साथ दो अर्धगोले (तेल-टैंकर, कैप्सूल), अर्धगोले के ऊपर शंकु (खिलौने, लट्टू), अर्धगोले के ऊपर घनाभ (सजावटी ब्लॉक), तथा आधे बेलन के ऊपर घनाभ (औद्योगिक शेड)।
4. 04लट्टू (अर्धगोले के ऊपर शंकु, कुल ऊँचाई 5 cm, व्यास 3.5 cm) के लिए रंगे जाने वाला पृष्ठीय क्षेत्रफल लगभग 39.6 cm² है।
5. 05एक सजावटी घन-और-अर्धगोला ब्लॉक (घन का किनारा 5 cm, अर्धगोले का व्यास 4.2 cm) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 163.86 cm² है।
6. 06जब किसी ठोस को खोखला किया जाता है (जैसे, बेलन के सिरों से अर्धगोला निकालना), तो उजागर आंतरिक वक्र पृष्ठ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में जुड़ता है — घटता नहीं है।