अध्याय 7: निर्देशांक ज्यामिति

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 7, "निर्देशांक ज्यामिति", छात्रों को दूरी सूत्र की सहायता से दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करना तथा विभाजन सूत्र की सहायता से किसी रेखाखंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना सिखाता है।

• बीजगणित के माध्यम से ज्यामिति — निर्देशांक ज्यामिति आकृतियों को संख्यांकित अक्षों वाले तल पर रखती है, जिससे लंबाइयों और स्थितियों को बीजगणित से संभाला जा सकता है। यह सेतु ज्यामितीय प्रश्नों को गणना द्वारा हल करने की सुविधा देता है।
• दूरी सूत्र — पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित दूरी सूत्र, किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांकों से उनके बीच की सीधी दूरी मापता है। इसके विशेष स्थिति में किसी बिंदु की मूल बिंदु से दूरी प्राप्त होती है।
• रेखाखंड का विभाजन — विभाजन सूत्र यह बताता है कि कोई बिंदु किसी रेखाखंड को चुने गए अनुपात में कहाँ विभाजित करता है। उस अनुपात को 1:1 रखने पर मध्य-बिंदु प्राप्त होता है, जो रेखाखंड का ठीक केंद्र होता है।
• संरेखता की जाँच — दूरियाँ यह भी बताती हैं कि तीन बिंदु एक ही रेखा पर हैं या नहीं: यदि दो छोटी दूरियों का योग सबसे बड़ी दूरी के बराबर हो, तो बिंदु संरेखी हैं। इससे त्रिभुजों और चतुर्भुजों का वर्गीकरण करने में सहायता मिलती है।

1. 01दूरी सूत्र: P(x₁,y₁) और Q(x₂,y₂) के बीच की दूरी √[(x₂–x₁)²+(y₂–y₁)²] होती है, जो पाइथागोरस प्रमेय से व्युत्पन्न है।
2. 02बिंदु P(x,y) की मूल बिंदु O(0,0) से दूरी √(x²+y²) होती है।
3. 03विभाजन सूत्र: रेखाखंड AB — जहाँ A(x₁,y₁) और B(x₂,y₂) हैं — को आंतरिक रूप से m₁:m₂ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ((m₁x₂+m₂x₁)/(m₁+m₂), (m₁y₂+m₂y₁)/(m₁+m₂)) होते हैं।
4. 04मध्य-बिंदु सूत्र (1:1 अनुपात में विभाजन सूत्र का विशेष रूप): AB का मध्य-बिंदु ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) होता है।
5. 05तीन बिंदु संरेखी होते हैं यदि दो निकटवर्ती बिंदु-युग्मों के बीच की दूरियों का योग बाहरी बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर हो।
6. 06निर्देशांक ज्यामिति बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ती है तथा इसके अनुप्रयोग भौतिकी, अभियांत्रिकी, नौवहन, भूकंप विज्ञान और कला में हैं।