अध्याय 8: त्रिकोणमिति का परिचय

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी पाठ्यपुस्तक का अध्याय 8, "त्रिकोणमिति का परिचय", समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के संबंधों का अध्ययन करता है। इसमें छह त्रिकोणमितीय अनुपात — sin, cos, tan, cosec, sec और cot — को परिभाषित किया गया है तथा sin²A + cos²A = 1 जैसी प्रमुख सर्वसमिकाएँ स्थापित की गई हैं।

• छह अनुपात — समकोण त्रिभुज में किसी न्यून कोण के लिए भुजाओं की छह प्रकार से तुलना की जाती है, जिससे sin, cos, tan तथा उनके व्युत्क्रम cosec, sec और cot प्राप्त होते हैं। ये अनुपात यह बताते हैं कि कोण का त्रिभुज की भुजाओं से क्या संबंध है।
• अनुपात केवल कोण पर निर्भर करते हैं — चूँकि समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपाती होती हैं, इसलिए त्रिकोणमितीय अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं। इसीलिए 30°, 45° और 60° जैसे मानक कोणों के लिए निश्चित, स्मरणीय मान होते हैं।
• मूलभूत सर्वसमिकाएँ — तीन पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ अनुपातों को परस्पर जोड़ती हैं, जिनमें सबसे मूलभूत है sin²A + cos²A = 1। किसी कोण का एक अनुपात ज्ञात होने पर इन संबंधों से शेष सभी अनुपात निकाले जा सकते हैं।

1. 01त्रिकोणमिति त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के संबंधों का अध्ययन करती है; यह शब्द ग्रीक 'tri' (तीन), 'gon' (भुजाएँ) और 'metron' (माप) से बना है।
2. 02समकोण त्रिभुज में न्यून कोण A के लिए छह त्रिकोणमितीय अनुपात परिभाषित होते हैं: sin A = लंब/कर्ण, cos A = आधार/कर्ण, tan A = लंब/आधार; तथा cosec, sec और cot उनके क्रमशः व्युत्क्रम हैं।
3. 03त्रिकोणमितीय अनुपात केवल कोण पर निर्भर करते हैं, समकोण त्रिभुज के आकार पर नहीं, क्योंकि समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
4. 04मानक कोणों के मान: sin 30° = 1/2, sin 45° = 1/√2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1; cos का मान 0° से 90° तक बढ़ने पर 1 से 0 तक घटता है।
5. 05तीन पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ सभी वैध न्यून कोणों के लिए सत्य हैं: sin²A + cos²A = 1, sec²A = 1 + tan²A, और cosec²A = 1 + cot²A।
6. 06यदि किसी न्यून कोण का एक त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात हो, तो परिभाषाओं और सर्वसमिकाओं की सहायता से शेष पाँचों अनुपात ज्ञात किए जा सकते हैं।